함수

을 무한히 반복하여 나누어 멱급수 형태의 모양으로 쓸

경우  xⁿ 의  계수로 이루어진 수열  (a_n)은 어떤 것인가

알아보시오.

 수열에 관한 성질을 알기 위하여  모함수를 정의하고,

 모함수에 대한 여러 연산의 결과를 활용하여  수열에

관한 정보를 얻는 방법을 학습한다.

   모함수 (Generating Functions)

본 강의에서는 주어진 수열   (a_n) 의 성질을 규명하기 위하여 도움이 되는 새로운 함수를 정의하고, 그 함수의 성질을 이용하여 수열   (a_n)의  성질을 얻는 과정을 알아보도록 합시다.

 

정의 1.    (an)이 주어진 실수열일 때, 함수 를 수열 (an)의  모함수(generating function)라고 부른다.

예를 들면,

이므로,   함수

은  수열  { ( -1)ⁿ}의 모함수이다.

또 앞에서 학습한 일반화된 이항정리에 의하여

이므로,

은 수열   { 2ⁿ } 의 모함수이다.  

이 때,  주어진 급수의 수렴은 특별히 고려하지 않으며 단순한 무한합의 모양으로만 이해하도록 약속한다.

다음은 여러 가지 모함수를 나열한 것이다.

특히 (3)식은 다음과 같이 구할 수 있다.

실제로 (*)는 무한급수의 수렴값을 구할 때 활용할 수 있다. 즉,

은 비판정법 등으로 수렴함을 보일 수 있다. 그렇지만 그 수렴값은 다른 방법으로는 구하기 어렵고 위의 식 (*)에  x = 1/3

을 양변에 대입함으로써 구할 수 있다. 즉,

 

문제 1. (1)  무한급수     의 값을 구하시오. (2)  무한급수   의 값을 구하시오.

일반적으로 함수  f 가   수열 (a_n)의  모함수

x = 0 에서 무한번 미분가능하다면, Maclaurin 급수전개를 이용하여 모든 자연수 n에 대하여 관계식

일반적으로 모함수는 이산수학에서의 여러 가지 counting 문제에서 빈번히 사용되는 도구이다. 실제로 앞 강좌에서 배운 분할의 수  P(n)이나 피보나찌 수열 F(n) 등은 모함수 이론을 써서 성질을 규명할 수 있다.

분할의 수 P(n)은 x의 멱급수의 곱의 계수로서 구할 수 있다. 즉, 전개식

에서

이며  이는 분할

       1 + 1 + 1 + 2 + 0 + 4 + 4 = 13

을 의미한다.

또 위 식에서 무한급수의 곱

에서의  xⁿ의 계수는 P(n)이다.

(단,   P(0) = 1로 약속한다. )

 

문제 2.  자연수 n의 분할  P(n)의 모함수를 구하시오.

 

예제 2.    an을 n을 서로 다른 자연수의 합으로 표시하는 방법의 수라고 할 때, 수열  (an) 의 모함수를 구하시오. 풀이.  앞에서와 같이 다항식의 무한 곱으로 이해할 수 있다. 즉, 5를                 2 + 3,  1 + 4,  5 와 같이 표시할 수 있고,  따라서   a5 = 3 이므로 이는 모함수 에서의   x5의 계수로 이해할 수 있다.

 

문제 3.  수열 (an)은 200, 300, 500원짜리 우표를 합해서  n×100원 만큼 사는 방법의 수를 나타낸다. 이 때 수열 (an)의 모함수를 구하시오.

이제 Fibonacci수열   {F(n)} 의 모함수   f (x) 에 관하여

알아보도록 합시다.

앞에서 언급하였듯이 모함수   f (x)는 대수적, 해석적인 방법을 사용하여 여러 방법으로  f (x)의 계수를 구할 수 있기 때문에 수열의 성질을 알 수 있다.

따라서

위 식을 각각 이항전개하면

위의 식은 앞에서 구한 Fibonacci 수열과 다른 방법으로 표현한 식임을 알 수 있으며, 앞의 것과 같은 항을 가짐을 알 수 있다.

 

문제 4. 다음 수열의 모함수를 구하시오.

 

문제 5. 다음 함수로 생성된 멱급수의 일반항의 계수를 구하시오.

   수열에 관한 성질을 알기 위하여  모함수를 정의하고,

 모함수에 대한 여러 연산의 결과를 활용하여  수열에

관한 정보를 얻는 방법을 학습한다.

에서 극한값

의 값을 구하시오. 

Fibonacci수열에 관련된 여러 가지 관계식과 기하적 응용

중의 하나인 황금비에 관하여 학습한다.

 황금비와 Fibonacci 수  

이제 Fibonacci수열의 기하적 응용 중의 한 가지를 학습하도록 합시다.

한 선분을 두 부분으로 나누되

가 되도록 나누는 것을 황금분할 (golden section)이라 하고 그 비를 황금비(golden ratio)라고 한다.

주어진 선분의 길이와 긴 부분의 길이를 각각   l,  a  라 하고 황금비를

g 라고 하면,

황금비는 예술적으로 가장 이상적인 비율이라고 여겨

지고 있다.

황금비 g는 흔히 보는 책의 가로의 길이에 대한 세로의

길이의 비의 값과 같고, 또 한변의 길이가 1인 정5각형의

대각선의 길이와도 같다.

 

정의 1.    다음과 같이 귀납적으로 정의된 정수  Fn을  Fibonacci수 라고 한다.                 또, 수열  { Fn}을  Fibonacci 수열이라고 한다.

 따라서  Fibonacci수열의 처음 몇 항을 써보면 다음과 같다.

      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ....

Fibonacci수열이 갖는 다음과 같은 성질을 알아보도록 한다.

 

정리1.   Fibonacci수    Fn 에 대하여 다음이 성립한다.

수학적 귀납법을 이용하여 다음 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

임의의 양의 정수는 2의 거듭제곱

의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들면,

마찬가지로, 임의의 양의 정수는 Fibonacci수들이 합으로 나타낼 수 있다. 이 때,

전자계산기를 사용하여 동일한 양을 여러 번 더하는 경우에, 흔히 이와

같은 Fibonacci분할법을 이용하여 계산한다.

 Fibonacci수열에 관련된 여러 가지 관계식과 기하적 응용

중의 하나인 황금비에 관하여 학습한다.