삼각함수의 가법정리를 이용하여   를 구하시오.

  Pascal의 삼각형의 다양한 응용 중에서 삼각법에서

의 응용을 알아보도록 한다.

 

  Pascal의 삼각형의 응용

 

이제 Pascal의 삼각형의 다양한 응용 중에서 삼각법에서

의 응용을 알아보도록 합시다.

Pascal's triangle 처럼 sine, cosine의 삼각법에 의한

항등식도  그 자체가 하나의 삼각형 모양을 가진다.

          먼저 다음 그림을 봅시다.

위의 배열에서 각 행 (위 그림은 모눈종이 위에 편리하게 그릴 수

있다.)   은 에 관해 내림차순으로 정리했을 때 그

다항식에서의 계수이다.

그리고 0 이 아닌 계수의 부호가 항상 최고차에 대해서는 플러스

기호로 시작하면서 번갈아 나타난다. 예를 들면, 위에서 주어진

배열의 마지막 행은 다음과 같이 쓸 수 있다.  

바로 위의 행으로부터 그 다음 행을 만드는 규칙은 다음과 같다.

삼각형에서 들어가는 임의의 수(이를테면 c 라고 가정하자. )는

               c = 2a + b

와 같이 주어진다.

여기서 a 와  b 는 아래 그림에서 볼 수 있는 것과 같이  c 와

관계된다.

이 계산을 하는 데 있어, 굵은 선으로 되어 있는 삼각형의 밖에

있는 정사각형은 0으로 계산한다. 따라서 위에 있는 삼각형의

다음 행은 아래와 같다.

2 x16 + ; 2 x0 + ;2 x20 + 8 ; 2 x 0 +0 ; 2 x 5 + 8 ; 2 x 0 + 0 ; 2 x + 1 ;

또는 32   ;        0    ;     48      ;     0       ;      18      ;       0      ;      1        .

 (단, 여기서 은 0 이 굵은 선으로 되어 있는 삼각형의 밖에 있다는 것을

나타낸다. )
 

임의의 행에 대한 계산은 오직 바로 위의 두 줄에 들어가는 수에

달려있기 때문에 전체 삼각형은 명백한 첫 두 줄을 아는

것에서부터 전개할 수 있다.

 위와 같은 규칙이 나오는 이유는 다음과 같은 관계 때문이다.

이에 대한 검증으로써  n = 6 이라 놓고 위에서 계산된  

에 대한 표현으로 어떻게 유도되는지 알아보자.

이미 구한 와 에 대한 다항식을 사용하면,

 이다.

 

문제 1.    를 구하시오.

       이제까지 에 대해 알아보았다. 그러면 이번에는

에 대해 알아보자.

        는 0처럼 그렇게 간단하게 다루는 것은 불가능하다.

왜냐하면 이 는 n 이 홀수일 때만 sin 에 관한 다항식으로 표현될 수

있기 때문이다. 그래서 이 n 이 홀수인 경우에는 계수가 에 대한

삼각형에 의해 주어진 계수와 같다. ( 이것은 cosine 다항식에서 대신에

를 씀으로써 쉽게 알 수 있다. )

    그러나 여기서 우리는 계수의 부호에 유의해야 한다. 왜냐하면  

(이 때 n은 홀수)에 관한 다항식에서 항샹 양(＋)인 것은 에 관해 정리했을 때

가장 낮은 차수의 계수이다. 따라서 제일 처음에 주어진 삼각형의 각 행을

오른쪽에서 왼쪽으로  읽고 위에서 언급한 부호에 관한 규칙을 따르는 식을

쓰면 명백한 식이 된다. 이렇게 해서 우리는 다음과 같이  에 관한

식을 쓸 수 있다.

   이제 이 내용을 모두 이해한 학생은 이런 종류의 관계에 대해 더 깊게

조사하려고 시도해 볼 수 있겠다.

우선 다음과 같은 삼각형을 생각해 봅시다.

   그러면 이 삼각형은 원래의 cosine삼각형과 정확하게 같은 구성규칙

(c = 2a + b)을 가짐을 알 수 있다.

    Pascal의 삼각형의 다양한 응용 중에서 삼각법에서

의 응용을 학습하였다.

  7 을 자연수의 합으로 표시하려고 한다. 예를 들면,   

  2+3+1+1 도 한가지 방법이다. 가능한 방법은 모두

 몇 가지인가 알아보시오.

앞에서 학습한 counting technique을 활용하여

다양한 세기의 방법의 응용으로 수의 분할에 대하여

학습한다. 

  분할 (partition)

   앞에서 학습한 선형 Diophantine 방정식을 다시 생각하여

봅시다.

x + y + z = 5를 만족하는 자연수해 중에서 (3,1,1)과

(1,3,1)은 서로 다른 해를 의미한다. 그렇지만 순서를 무시하고

단순히 구성성분으로만 이해한다면 두 해 모두 1, 1, 3 이라는

구성성분 만을 갖고 이는 자연수  5 의 분할 (partition)이

된다.

  

정의.     자연수 n에 대한 (unordered) partition (분할)이란 원소의 총합이 n이 되는 자연수들의 집합을 의미한다.

예를 들면, 5의 분할은

5 ; 4+1; 3+2; 3+1+1; 2+2+1; 2+1+1+1; 1+1+1+1+1

등 모두 7 가지이다.

자연수 n에 대한 unordered partition의 개수를   P(n) 이라고

표시하기로 합시다. 그러면,

P(1) = 1

P(2) = 2

P(3) = 3 ( 3; 2+1; 1+1+1 )

P(4) = 5 ( 4; 3+1; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1 )

P(5) = 7

임을 알 수 있다.

 

문제 1.       P(8)을 구하시오.

      일반적으로 커다란 수 n에 대한 P(n)을 알기는 무척

어렵다. 물론, 일반적인 n에 관한 P(n)의 식은 알려져 있지

않다.

이제 분할에 대한 간단한 성질을 알아보도록 합시다.

    위의 그림에서와 같이 행과 열이 서로 바뀐 모양의 분할을

공액 (conjugate)인 분할이라고 한다.

위의 그림은 7 에 대한 공액인 분할이다.

이제 분할의 성질을 알아보기 위하여 기하적 분할의 모양인

Ferrer의 diagram을 이용하여 다음 그림을 생각해 봅시다.

위 그림에서  12의 분할 중에서 두 분할

5+3+2+1+1 과 9+3

의 Ferrer의 diagram이라고 하며,  마찬가지로

13의 분할 중에서 두 분할

4+4+3+2 와 7+5+1

의 Ferrer의 diagram이라고 부른다.

이제 위의 Ferrer의 diagram을 이용하면, 다음과 같은

정리를 얻을 수 있다.

 

정리 1.   자연수 n을 m부분으로 나눈 분할의 개수는 분할의 최대 구성성분의 크기가 m인 분할의 수와 같다.

위 정리는 다음 그림과 같이 이해할 수 있다.

예를 들면, 5를 세 부분으로 나눈다면,

이 되는데, 두 분할에서 1열을 한 수로 이해한다면,

가 되어 위 정리가 옳음을 확인할 수 있다.             ?

 

문제 2.   자연수 7을 세 부분으로 나눈 분할의 개수를 구하고, 구성성분 중 가장 큰 수는 얼마인가 구하시오.

다음 정리는 Ferrer의 diagram을 이용하여 분할의 개수를 구하는 방법을 나타낸다.

 

정리 2.    자연수 n의 분할 중에서 모든 구성성분이 홀수이고서로 다른 것의 개수는 self conjugate (즉, conjugate가자기 자신과 같은 분할)인 분할의 Ferrer diagram으로 구할 수 있다.

증명. 우리는 다음 그림에서와 같이 두 종류의 분할 사이에

Ferrer diagram이 일대일 대응을 이루고 있음을 알 수 있다.

     ?

 

문제 3. 자연수 15 의 분할 중에서 구성성분이 홀수이고 서로 다른 것의 개수는 모두 몇 개인가 구하시오. 또,이들의 Ferrer diagram을 이용하여 self conjugate인 분할도 구하시오.

자연수 n의 분할 중에서, n 이하인 모든 자연수 k는 n의 분할의 구성성분으로 항상 유일하게 표시할 수 밖에없을 경우, 이러한 분할을 우리는 완전(perfect)하다고 부른다.

즉, 1+1+1+ ... +1 과 같은 분할은 perfect한 분할이다.

또 7의 perfect한 분할은

4+1+1+1 ; 4+2+1 ; 2+2+2+1 ; 1+1+1+1+1+1+1

등이 있다. 그러나 분할

5+1+1

은 perfect한 분할이 아니다. 예를 들면, 3은

1+1+1 또는 2+1

로 표시할 수 있기에 유일한 표현이 되지 못한다.

우리는 완전분할에 대한 일반식은 쓸 수 없지만 다음과 같은 정리는

매우 유용한 식이다.

 

정리 3.   자연수 n에 대한 perfect partition의 개수는 자연수 n+1에 대한 인수분해 중에서 구성성분이 2 이상이고 순서를 고려한 인수분해의 종류의 개수와 일치한다.

증명.  n은 1 이상이므로 1은 모든 perfect partition의 원소임이

분명하다. 먼저 완전 분할에서 1이 m₁ - 1 개 있다고 하자. 그러면,

m₁이  m₂ - 1 개 있다고 하면 우리는 m₁ m₂ 보다 작은 모든 수는

유일하게 표시할 수 있다. 마찬가지로 다음 구성원소는 m₁ m₂ 이고

이것이  m₃ - 1 개 있다고 가정하고 위와 같은 방법을 반복하면, 우리는

임을 알 수 있다. 따라서,

n+1 = m₁ m₂ ... m_k 이고,  모든  i 에 대하여  m_i 는  2 이상이다.

그러면, 분명히 인수분해

m₁ m₂ ... m_k

는   n 의  완전분할이 된다.      ?

 

예제 1.   11의 완전분할을 모두 쓰시오.

풀이. 12 = 11 + 1 의 ordered factorization 과 대응하는 11의

완전분할을 모두 쓰면 다음과 같다.

6 x 2 ------------- 1+1+1+1+1+6

4 x 3 ------------- 1+1+1+4+4

3 x 4 ------------- 1+1+3+3+3

2 x 6 ------------- 1+2+2+2+2+2

3 x 2 x 2 ---------- 1+1+3+6

2 x 3 x 2 ---------- 1+2+2+6

2 x 2 x 3 ---------- 1+2+4+4            ?

 

문제 4. 다음 분할의 conjugate 분할을 모두 구하시오.   (1) 7 = 4+1+1+1 (2) 9 = 6+2+1

 

문제 5.    9의 모든 perfect partition을 구하시오.

 

문제 6. n의 perfect partition의 원소의 개수는 n+1의 인수가 됨을 증명하시오.

 

문제 7.   n의 perfect partition이 오직 1+1+...+1 뿐인 경우 n은 어떤 조건을 만족하는 자연수이어야 하는가 구하시오.

          counting technique을 활용하여  다양한 세기의 방법의  

      응용으로 수의 분할과 그 응용에 대하여 학습하였다.