제7장 recursion과 그 응용 ㅣㅣ

제 7 장 Recursion과 그 응용 II

3. Chaos and Fractals

3.1 Chaos

3.2 Fractals

주변에 있는 여러 가지 모양들 중에서 반복된 모양으로 중복하여 이루어진 것들은 어떤 것이 있는가 생각하여 보시오.

본 강의에서는 반복된 연산으로 만들어지는 chaos와 fractal에 관하여 학습한다.

Chaos and Fractals

1. 카오스 (Chaos)

1. 1. 카오스의 어원 및 유래

카오스(Chaos)란 말은 우리말로 '혼돈'이라는 뜻으로 천지창조 이전의 혼 란스러움 또는 무질서, 대 혼란이란 뜻으로 쓰이며, 코스모스(Cosmos)와는 상대적인 개념이다. 카오스의 근원은 그리스어의 '세상의 무질서한 여러 가 지 상태', 즉 우주가 생성되는 과정 중 최초의 단계로 천지의 구별과 질서가 없는 혼란의 상태를 말한다. 이 단어의 내면에는 창조의 근원이라는 뜻이 포 함되어 있다. Laplace(1749 - 1824)의 '라플레이스 악마'에는 우수한 수학적 능력을 가지 고 모든 우주의 초기 상태를 알고 있는 악마가 있다면 그 악마는 뉴톤의 동 력학의 방정식을 해석하므로 우주에서 일어날 수 있는 모든 일들을 예축할 수 있게 된다. 이러한 일이 가능하다면 악마는 세계를 지배할 수 있다는 이 야기가 나올 수 있다. 그러나 자연과 우주에서의 카오스 현상의 존재는 반대 의 현상을 가진다. 카오스 시스템에서 초기조건의 약간의 차이는 시간의 지 남에 따라 점점 큰 차이가 되는 것이 우리사회의 현상 중의 하나이다.

1887년 스웨덴의 국왕 오스카 2세는 "태양계는 과연 안정된 상태인가" 라 는 천문학의 오랜 궁금증을 해결하는 사람에 상금을 준다고 발표했다. 태양 과 9개의 행성, 그리고 소행성과 수많은 위성들이 안정된 궤도를 계속 돌 것 인가, 아니면 어느 행성이 궤도를 이탈해 태양과 정면 충돌하는가 의 문제이 다. Newton역학은 지구의 공전주기는 태양과 지구만을 고려한 결과이다. Henri Poincare는 두 물체만을 고려해서는 안된다고 생각했다. 그러나 지구 와 달의관계에서 태양을 고려할 때 (삼체문제)는 Newton 방정식으로 풀리지 않는다. Poincare는 태양계는 본질적으로 다체문제이기 때문에 비선형 방정 식으로 풀 수밖에 없다고 결론짓고 새로운 방정식을 구성하였다. 어떤 경우 매우 작은 변화가 행성을 큰 폭으로 움직이게 하고 충분한 시간이 지나면 궤도를 이탈할지 모른다는 결론이 나왔다. 그는 혼돈의 예측 불허성의 원인 이 되는 '결정론적 계에서의 초기 조건에의 민감성'을 최초로 알았다. 1975 년, 미국 메릴랜드대학의 수학자 Yourk와 그의 제자 이천암(李天岩)이 'Period Three Implies Chaos' 라는 논문을 수학 잡지에 발표했다. 그들은 이 논문에서 ' 카오스'라 불릴 만큼 매우 복잡한 해의 구조(임의의 자연수를 주기로 하는 무한개의 주기해와 자연수와 대응시킬 수 없을 만큼 무한히 많은 비주기해)가 존재" 하기 위한 충분 조건을 수학적으로 제시했 다.

1. 2. 카오스의 응용

카오스 이론은 철학, 물리, 기상학, 수학, 미술, 경제, 뇌연구 등 적용범위가 무한하다. 신경망 컴퓨터와 관련하여 살펴보자. 카오스는 정보생성, 패턴인식, 메모리 등, 생체의 정보처리와 밀접한 관련 을 갖는다. 카오스는 최대의 복잡함을 가지기 때문에 본질적으로 계산이 불 가능하고 동시에 정보 압축이 불가능하다. 그러나 이러한 성질은 직관적으로 볼 때 카오스의 패턴인식을 시사한다. 이러한 카오스의 안정성과 불안정성의 공존이 카오스의 커다란 매력이다.

카오스 뉴럴네트웍의 기대되는 성질은 다음과 같다. 첫째, 카오스를 이용해 입력의 변화에 대한 자연스러운 응답이 가능하게 되고 카오스 이론은 퍼지이론에 적용될 것이다. 둘째, 카오스의 불안정성과 복잡성은 시냅스 결합에서 볼 수 있는 거시적 인 불안정성과 자율성을 줌으로써 네트워크가 자기 조직화 능력을 가질 수 있게 된다. 세째, 인공지능, 자기학습능력, 조직화, 자율화, 동적인 연상 메모리, 병렬컴 퓨터, 패턴인식 등의 앞으로의 정보처리를 위한 새로운 기술은 뉴럴 네트워 크가 그 기본 방식이 될 것이며, 뉴럴 네트워크는 카오스원리를 이용하게 될 것이다.

1. 3. 1. 한과 카오스

나비효과는 '초기값의 민감성'이다. 초기의 소수점 세자리의 변화가 나중에는 엄청난 큰 결과를 가져온다는 것이다. 사주팔자(四柱八字)야 말로 나비효과의 한 좋은 예가 될 수 있다. 즉, 사주팔자에서는 사람이 난 시간과 날짜가 그 사람과 평생운명을 좌우한다고 한다. 한의학에서는 오운육기(五運六氣)라고 하여 난 시간, 날짜, 해, 달이 그 사람의 평생 건강 마져 결정한다고 한다. 한의학에서는 이를 하나의 이론으로 정규과정에서 다루고 있다. 이런 동양의 지혜는 카오스 이론을 그대로 반영하고 있다. '한'의 의미속에는 극점을 의미할 때도 있다. 공동번역 성서에선 태초를 '한처음'이라고 번역하였다. '한처음'은 더 이상 없는 원초적 초기를 의미한다. 카오스 이론에서 말하는 초기값의 민감성은 곧 한처음 값이 전체를 차지한다는 것을 의미한다. 우리는 초기값을 종종 '첫눈에 반했다'라고도 한다.

1. 3. 2. '한가운데'와 끌개

카오스 이론에서 중요시 되는 이론 가운데 하나가 '끌깨(attractor)' 이론이다. 끌개란 진동자가 처음에는 둥근 원을 그리다가 공기의 마찰로 인해 진동자의 진폭이 서서히 줄어들면서 한 점에서 고정되는 현상이다. 머리위의 가마는 좌우머리털이 감겨 끌어들이는 점이다. 그곳에서 머리털이 어느쪽으로 빗을 수 없는 현상이 일어난다. 시골 모래밭에 가면 개미귀신들이 모래를 V자 모양으로 파놓고 개미가 지나가 빠지기를 바라는 함정들이 있다. 이와 같이 모래가 점점 가라앉아 마지막에 중앙의 한 점이 되어 버리는 개미귀신도 끌개 현상이다. 로렌츠는 이러한 끌어 당기는 인력자를 '이상한 끌개(strange attractor)'라고 했다. 끌개는 서로 교차 되거나 반복되지 않는 일정한 고리 모양의 경로이다.

한이란 사전적 의미 속에는 '한밤(mid-night)', '한여름(mid-summer)'에서와 같이 '가운데'를 의미하는 뜻이 있다. '한가운데'로 끌어들이는 힘이 한 속에 있다. 한은 '하나'와 '여럿'을 끌어당기는 힘이 있다. 이 힘이 우주창조의 힘이고 역사의 추진력이 되기도 한다. '한가운데'를 의미하는 이러한 한의 의미가 카오스 이론에서 중요시하는 '끌개'를 일치시켜 생각할 수 있다.

1. 3. 3. '한가지' 와 자기 유사성

'한'의 사전적 의미속에 '같다(同)'는 의미가 있음을 발견하게 된다. '한데' 하면 '같은 데'란 뜻이며, '한가지' 하면 같은 종류란 뜻이 된다. 한의 이러한 동질성을 의미하는 것은 프랙탈이론에서 자기상사현상을 설명하기에 적합하다. 바로 한의 동일성의 의미는 프랙탈의 자기상사이다.

1. 3. 4. '한어림'과 부정수 차원

'한십분', '한동안' 등은 정수로 표현하기 곤란할 때 사람들이 흔히 쓰는 표현이다. 이런 표현은 '어림'으로 하는 표현이다. 프랙탈 차원과 비교할 수 있다.

1. 4. 카오스 이론의 결정론적 세계상

(부분의 합은 전체인가:소나무)

카오스라는 말은 불규칙하고 무질서한 운동을 함의 한다. 여기서 한가지 어려움은 근본적으로 불규틱 운동 혹은 우연성에 대한 적절한 정의를 찾아낼 수 있는 가 하는 문제이다. 무질서 혹은 불규칙한 자연 현상에 대한 이해와 그것의 기술 가능성에서 카오스 혹은 결정론적 카오스라는 말로 대치할 수 있는 새로운 경향이 강조되고 있다. 우리는 비규칙성을 무질서로, 그리고 결정론을 질서로 보는 관성 때문에 질서와 무질서를 완전히 다른 것으로 본다. 그러나 결정론적 카오스 이론은 결국 이 두 개념의 차이를 모호하게 만든다. 우리는 결정론적 카오스 이론이 가져다 준 세계상을 통해 새롭고 아주 다르게 자연을 이해 할 수 있다.

결정론과 예측 가능성은 지금까지 자명하게 동의어로서 다루어 졌다. 이는 동일한 원인이 동일한 결과를 낳는다은 좁은 의미의 결정론만을 이해해 왔기 때문이다. 자연과학의 목적은 자연의 모든 현상을 자연법칙의 규칙으로 환원시켜 설명하는 데 있다. 여기서 유일한 전제는 완전한 인과 관계의 성립이다. 한 원인은 반드시 한 결과에 앞서야 한다. 자연의 다양성이 몇몇의 규칙으로 환원되는 것은, 즉 관찰된 결과에 대한 원인 규명이 이루어짐을 의미한다. 동일한 원인은 동일한 결과를 갖는다는 것이 지금까지 자연 해석의 근간이었다.

반면에 전자기학의 아버지인 맥스웰은 이미 나름의 독특한 자연해석을 제시하였다.

동일한 원인이 동일한 결과를 낳는다는 것은 형이상학적 독단이다. 어느 누구도 그렇게 확신할 수 없다. 동일한 원인이 두번 다시 나타나지 않으며, 결코 반복되지 않는 세계에서는 위의 생각이 적용될 수 없다. 이런 입장을 대변하는 물리적 공리는 다음과 같다. 유사한 원인이 유사한 결과를 갖는다. 이제 우리는 동일성에서 유사성으로, 절대적 엄밀성에서 다소간 폭 넓은 유사성으로 전환했다.

그는 동일한 원인이 동일한 결과를 낳는다는 좁은 의미의 결정론 대신에, 유사한 원인이 유사한 결과를 갖는다는 넓은 의미의 결정론을 이야기한다.

보통 우연과 필연은 조화될 수 없는 대립물로서 간주 되었으나 카오스 이론에서는 그렇지 않다. 카오스가 결정론적 구조를 갖는다고 말하는 것은 모순처럼 보인다. 그러나 결정론적인 것과 카오스 적인 것은 겉으로 보기에만 모순이라는 것이 카오스 이론의 기본명제이다. 이명제에서 이야기하는 우연성은 다음의 두가 성질로 나누어 볼 수 있다.

첫째, 현상적인 우연의 요소가 있기는 하지만 결정론적 법칙에 따르는 역하게 지배되는 물리 체계가 있음을 말한다. 따라서 우연성은 숨겨진 질서 구조의 외형일 뿐이다. 즉 대상들간의 변화 운동에서 생기는 현상적 우연성이며, 인식론적으로만 그 인과 관계의 끈을 찾을 수 없을 뿐이다. 그 물리적 우연성은 처음 상태와 끝 상태의 관계가 일의적이지는 않지만, 그 카오스 속에 깊숙이 놓여 있는 어떤 질서가 있다고 본다. 그 물리적 체계의 역학적 운동은 결정론적 법칙에 의해 지배되고 있지만, 그럼에도 불구하고 현상적 우연성을 보이는 그런 물리 체계이다. 여기서 문제가 되는 것은 단순한 결정론적 방정식이 긴 시간 동안 예측 불가능한 해답만을 줄 수 있다는 점이다. 체계의 상태 변화는 결정적 이지만 단지 예측할 수 없을 뿐이다. 그러한 체계의 우연성은 동일한 원인이 동일한 결과를 낳는다는 좁은 의미의 인과율을 적용되지 않는다. 작은 원인이 큰 결과를 가질 수 있다. 이제 카오스 이론의 등장과 함께 좁은 의미의 인과율은 그 힘을 잃은 듯하다.

둘째, 대상 자체의 운동이 원래 우연적 구조를 갖고 있다은 점이다. 그 우연성은 기존의 선형적 수학식으로 기술이 불가능하다. (이러한 상황 기술은 지수함수적 관계를 의미한다. 이 방정식의 미분값은 당연히 비선형적이다. 물론 모든 우연적인 현상을 카오스 이론으로 설명할 수는 없다. 결정론적 카오스 현상은 모두 비선형적이지만, 비선형적 현상 모두가 결정론적 카오스 현상은 아니다.) 복잡계안에 심연의 질서가 존재하는데, 그것은 부분적으로 아주 매력적인 기하학적 형식으로 환원시킬 수 있다. 무질서 체계의 우연 관계는 분명히 체계 내재적이다. 이 경우에 복잡계의 혼돈 현상은 체계의 객관적 성질인 듯 하며, 인간의 제한된 인식 능력의 부족 때문만은 아닌 것 같다. 자연 세계의 숨겨진 기하학적 아름다움이 그 예이다. 예를 들어 살아 있는 유기체의 구조를 기계론적으로 설명할 수 없는데도 그 안의 내재적 질서가 있음은 어느 누구도 부정하지 않는다.

1. 5. 천지창조와 카오스

창세기 1장에서 첫째 날에 신은 빛과 어둠을 나누고 빛을 낮이라 하고 어둠을 밤이라고 했다. 둘째 날은 하늘과 땅을, 셋째 날은 식물을, 넷째날은 해와 달을, 다섯째 날은 동물을, 여섯째 날은 인간을 창조한다. 하루 하루 날이 점진할 때 마다 창조대상은 달라지지만 매일 빠짐없이 "밤이 되니 낮이 되더라"는 말을 반복하고 있다. 참고로 유대인의 시간의 개념이 저녁에서 시작한다. 안식일도 금요일 저녁에서 시작한다.

카오스 이론에서 볼때 이 반복은 중요한 의미를 지닌다. '맨처음'에 생긴 한가지 현상이 반복점진되는 것이 나중에 엄청난 카오스 현상을 만든다고 보았다. 신은 밤과 낮을 반복시켜 반죽함으로 천지를 창조해 나갔다고 할까?

밤과 낮을 반복한다는 것은 결정론적 행위 같다. 그러나 반복, 점진 그리고 되먹임이 되풀이 될때 비 결정론적이 된다. 신은 하루하루의 창조가 끝날 때 마다 '보시기에 좋았더라'고 한다.드디어 신과 인간사이에 뱀이라는 3자가 등장하자 카오스 현상이 일어난다. 드디어 자기 죽음만이(십자가)이 카오스에서 빠져나와 '새하늘과 새땅'으로 옮겨갈 수 있다고 믿게 되었다. 신은 주사위 놀이를 하고 있는가?

2. 프랙탈 (Fractal)

2.1 프랙탈의 개념

Mandelbrot(1975)는해안선, 나무의모습, 강의모양을 일반화하는 목적으로 프랙탈이라는개념을 발표했다. 유크리드기하의 곡선은 확대하면 직선의 모양이 되고, 구는 평면에가까원 지는데, 프랙탈의해안선, 산악, 구름들을살펴보면, 표면에서의울틍불틍한 것이 세부구조로 들어가면서반복적으로 나타난다.

프랙탈의 개념은 조각나거나 가지친 자연구조의 배열뿐 아니라 브라운 운동(browinian motion)에서 부터커피찌거기를 통해서 떨어지는 물방울 운동에이르기까지 구조의 역동적인 성질들을묘사하는데 사용될 수 있다. 프랙탈은과학자들이 자연현상을 측정하는 데 사용할 수있는 데, 예를들면 전기를 전도하는 방식들을 연구하는데사용할 수 있다. 그러나수학 프랙탈은 자연적인 물체에서는 실제로발견할 수 없는 성질들을 가지고 있다. 무한히되풀이해서 확대되면서도 똑같이 보이는 구조는실제로 없다. 그럼에도불구하고 프랙탈 모델은 적어도 한정된 범위에서실체와 비슷한 접근방법을 제공해 준다.

프랙탈은 Yourk 와 Lee 의 카오스 이론이내포된다. 카오스계의 운동이 Lorenz 끌개의한쪽 날개 상을 돌다가 불규칙적으로 다른 쪽날개로 넘어가는 것을 반복하는 형태로나타나는데, 똑같은길을 반복하지 않으면서 일정한 형태(나비 날개 모양)를 유지한다. 이 기이한 끌개는 (strange attractor)는무한히 많은 층으로 이루어졌으나 자체유사성을지닌, 매우기묘한 기하학적 구조(프랙탈 구조)를 가지고 있으며이 위에서 카오스 운동이 일어나게 된다. 이러한 점에서 동적 운동으로서의 카오스를 이해하기 위하여 공간적 기하학적 구조인 프랙탈 연구가 필요하다.

끌개의 프랙탈구조와 그 위의 카오스 운동은 마치 밀가루반죽과 같이 상태공간을 늘리고 접는 과정의무한한 반복에 의해 만들어 진다. 이 끊임없는팽창과 접힘 과정에 의해 초기의 미세한 차이가크게 증폭되는 현상을 초기조건에 대한 민감한의존성이라고 한다. 즉북경에서 나비 한 마리가 날개 짓의 팔랑거림이계속 증폭되어 오랜 시간이 지난 후 지구 반대쪽뉴욕에서 폭풍우를 불러올 수 있다는 것이다. 이를 나비효과라부른다(You가, 1990) 나비효과는 기상모델에서의 비예측성을 낳게 되며 장기예보가 근본적으로 불가는하다는 것을 가르쳐 준다.

최근 컴퓨터를통하여 Lorenz 의 기상모델 뿐 아니라 다양한 자연현상에서 여러 가지기묘한 기하하적 구조(프랙탈 구조)의 기이한끌개들이 발견되었다. 즉프랙탈 이론은 카오스 속의 변화하지 않는부분만 착안하여 그것을 법칙으로 끌어낸 것이다. 다시 말하면 프랙탈은 미분이 가능하며 정규적 모양을 지닌 유클리드 기하체와는 달리, 비규칙적으로갈라진 구조를 가진다. 그 부분을확대하면 전체의 모습과 비슷한 구조가 다시나타난다. 프랙탈이란밖으로 열린 순서적으로 된 패턴을 나타내는도형으로, 이것을확대해 가면 반복적으로 매우 닮은 세부가보이게 된다는 특징을 가지고 있다.

2.2 프랙탈의연구동향

1970년대에Yourk와 Lee 의 수학논문에처음으로 '카오스(chaos)' 라는 말이사용되었다. 같은무렵 1975 년, Mandelbrot 가 '프랙탈한 대상모양, 우연, 차원' 이라는 책을출판하였다. 이것들은각각 수학과 과학 세계에 충격을 주었다. 프랙탈은 70년대 말부터물리학자, 지라학자, 건축, 미술, 철학 등의 분야의사람들의 주목을 받게 되었다. 프랙탈에 대한관심을 갖게 된 것은 컴퓨터의 발달과 더불어프랙탈 도형을 많은 사람들이 즐길 수 있게 된것과, 또물리학과 관측기술의 진보가 자연 속에 있는프랙탈한 모양을 만드는 데 성공한 것에도원인이 있다. Mandelbrot는 처음으로프랙탈에 대해 많은 연구를 시작한 사람으로자신이 생각한 형상, 차원 및기하학에 이름을 붙여야겠다고 생각하고, 라틴어의 '부서지다'라는 뜻의 동사 'frangere'에서 파생한형용사 'fractus'를 찾았다. fractus 란 '온전한 것이 아닌', '어중간한 ' 뜻으로 어원이같은 영어 단어'fracture'와 'fraction'의 어감도 적절한것으로 생각하였다. Mandelbrot는 영어이면서불어이며, 명사이자형용사인 'fractal'을 만들었다.

80년대에 프랙탈이론은 심미적인 기하학 이론으로 연구되어 왔을뿐 아니라 매개변수의 변화에 따라 정의되는동력계(dynamics)연구에 잇어서카오스의 본질을 파악하는데 기반을 이루게 된다. 순수수학에서의단순한 개념으로 출발한 프랙탈은 현대과학의많은 문제점 기술에 있어서 중요한 위치를차지하게 되었고, 카오스문제를 이해하는 데 새로운 혁신적인 시각을제공하게 된다. 카오스 연구에 빛을 비추기 시작한 Henri Poincare 는 18 세기말부터 19세기 초에 걸쳐활약한 프랑스 수학자이다. 그는 Newton의 세계관이라고할 수 있는 태양계에서 카오스를 발견한다. 그러나 Newton의 세계관은너무나도 깊게 뿌리 박혀 있었고 실제의천문현상은 Newton의 법칙을 잘만족시키고 있었기에 Poincare조차도 이 결과에대해 이상하게 생각했었다.

그 후에 나타난 Edward Lorenz는, 2차 대전 중 기상보관으로 일하면서 기후에는 어떤 법칙이 존재할것이라 생각했다. 하루이틀 후의 일기예보조차 불확실하고 1 주일 후의 상황은전혀 예측할 수 없는 이유가 나비효과(Butterfly effect)때문인 것을발견했다. 1963 년대류에 관한 방정식을 분석해서 중요한 요소만남겨 단순한 형태로 만들었는데 이 방정식은비선형 요소를 포함하고 있었다. Lorenz는 이 방정식을컴퓨터로 풀어가던 중 그 속에 포함되어 있는정교한 기하학적 구조(프랙탈 구조)를 발견하였다. 똑같은 자리로되돌아오지는 않지만 거의 비슷하게 반복되는 Lorenz 끌개(attractor)의 모습이었다. 그러나 Poincare 처럼 주변과학자들의 관심을 끌지는 못했다.

1960년대에 몇몇과학자들은 카오스를 연구하는데 기초가 될 만한것을 마련했는데, Stephen Smale이 대표적이다. 그는 동력학계에위상수학을 결합시키는 연구를 했다. Yourk는 Lorenz가 주장한 '초기조건의민감성'은 일상생활의도처에 존재한다고 생각했다. Yourk는 생물학자인 Robert May 와의공동연구에서 카오스계에서 나타난 질서를찾았다. Mandelbrot는 자연의경항성을 밝히려 했고, 사회의 복잡한무질서 속에서 일정한 질서가 있음을 찾아내려했다. 이와같은 질서는 Newton 역학에서보여지는 단순명쾌한 질서는 아니었다. 그의 업적은자연이 가지고 있는 자체 유사성에 대한연구에서 절정에 이르게 된다. 카오스는 현재비선형동력학이론과 실험도구로서의 컴퓨터의발전과 맞물려 성장하고 있다. 또한 카오스는수학, 물리학, 생물학, 화학, 지질학, 공학, 생태학, 사회학, 경제학, 과학철학 등 과학및 사회 전반에 걸쳐 근본적인 사고의 변화를가져오고 있으며, 현재공학, 산업에서의응용이 매우 활발하다.

본 강의에서는 반복된 연산으로 만들어지는 chaos와 fractal에 관하여 학습한다.

제 7 장 Recursion과 그 응용 II

4. Iterations and Chaos

본 강의에서는 iteration process에 대하여 학습하고, 그 응용으로 Sierpinski gasket, Sierpinsik carpet, Cantor set 등에 대하여 학습한다.

Iterations and Chaos

1. 반복과정 (Iteration Process)

1. 1. 주요 목표, 개념 및 연계성

이 강좌의 활동은 전통적인 수학 내용을 새롭고, 역동적이며, 시각적이고, 기하적으로 변형한 것이다. 반복적인 움직임의 패턴을 찾아감으로써, 일정한 변화를 보게 될 것이다. 그래픽 반복은 계단형이나 나선형의 모양을 그리면서 끌개로 작용하는 특정점으로 끌려 들어오는 경로를 만들기도 하고, 또는 밀개 역할을 하는 다른 점으로부터 도망가는 경로를 만들기도 한다. 어떤 구간은 그래픽 반복을 통해 축소되므로 오차가 줄어들지만, 반면 다른 어떤 구간은 반복을 통해 확장되므로 작은 오차가 큰 오차로 급격히 불어난다. 이러한 특성에 깔려있는 핵심적인 질문은 '반복 과정을 언제 예견할 수 있는며 언제 예견할 수 없는가?' 이다.

반복 과정은 함수의 합성와 관련된 개념과 관련 짓는 직관적인 관점에서 발전된다. 재귀적인 과정을 통하여, 그래픽 반복과 수의 반복이라는 두 가지 면에 초점을 둔다. 같은 함수를 계속적으로 반복할 때 초기값에 따른 변화를 살펴 간다. 때로는 역동적인 체제가 어떻게 작용하는지를 몇 몇 점의 움직임을 살펴 봄으로써 자세히 학습할 수 있다. 이는 흥미롭고도 폭 넓은 경험이 될 것이다. 유사한 이차 함수가 놀랍게도 전혀 다른 움직임을 드러낼 수 있음을 발견한다면 직관력을 자극받게 될 것이다.

이러한 전략적인 학습 활동의 제재는 현행 수학 프로그램의 필수적인 부분을 만들어낸다. 각 활동은 이러한 주제로 하나의 단원으로서 사용할 수 있으며, 다음과 같이 관련 영역의 기존 교육과정과 매우 밀접한 관련을 갖고 있다.

이차함수 기울기
기하 패턴 시각화
수 패턴 극한 개념
합성 함수 수렴
사상 그래프 그리기
함수값 구하기
부수적인 관련
변환
급수와 수열 절대값
일차 함수 그래픽 calculator

1. 2. 그래픽 과정에서의 반복

x축 위에서 출발하여 다음과 같은 단계를 따라 함수의 그래프와 대각선을 오가는, 한점의 경로를 생각하여 보자.

1. 함수의 그래프를 향하여 위나 아래로 움직인다.

2. 대각선을 향하여 오른쪽이나 왼쪽으로 움직인다.

이러한 경로를 만들어 내려면, 먼저 함수의 그래프로 수직선을 그린다음 , 만난 점에서 대각선으로 수평선을 그린다. 이 활동에서 중심적인 기하 과정은 이러한 두 단계를 계속하여 반복하는 것으로 , 이때의 끝점은 다음의 시작점이 된다.

직선과 대각선의 교점은 특별한 점이다. 더 이상 움직일 수 없는 점으로 가기 때문에, 이과정은 더 이상 계속해 나갈 수 없다. 이러한 점을 고정점이라고 한다.

많은 다른 경로들을 그래픽 반복으로 만들어 낼 수 있다. 어떤 경로는 계단 모양이다. 계단형을 끌려 들어오는 경로는 끌개로 작용하는 고정점을 향하여 이끌린다. 계단형으로 가는 경로는 밀개라고 불리는 고정점으로 움직인다.

4.4 엑셀을 통한 실습

1) 계단형 끌개와 밀개를 엑셀을 통하여 알아보자.

2) 나선형 밀개와 끌개에 대해 알아보자.

3) 직선의 기울기가 다음과 같을 때, 움직임이 어떻게 변하는지 알아보자.

직선의 기울기가 -1 보다 작은 값에서 -1보다 큰값으로 증가할 때
직선의 기울기가 0보다 작은 값에서 0 보다 큰 값으로 증가할 때
직선의 기울기가 1 보다 작은 값에서 1 보다 큰값으로 증가할 때

4) 직선의 기울기가 1 과 -1 일때 움직임을 알아보자.

5) 각 직선과 대각선 y=x의 관계를 살펴보자. 경로를 그리지 않고, 초기값이 표시된 그래픽 반복이 계단형이 될지 나선형이 될지 결정하시오. 교점은 끌개로 또는 밀개로 작용하겠는가?

A. Chaotic한 구조를 갖는 model로서의 신경망

1. 뇌의 특성

지금 우리가 사용하고 있는 컴퓨터는 노이만형 직렬처리 컴퓨터이며 이것의 기본적인 알고리즘을 대부분 잘 아시리라고 생각됩니다. 노이만형 직렬처리컴퓨터는 CPU 를 이용한 순차처리방식으로 인해 속도의 한계가 있고 구조 역시 더욱더 복잡해지고 있을 뿐만 아니라. 프로그램과 자료의 규칙을 모두 규격화하여 외부에서 만들어 주어야 합니다. 그러나 뇌의 경우 뇌신경 시스템에 의한 병렬분산 아키텍쳐로 되어있으며 이러한 시스템, 즉 뇌신경은 그 작동 속도가 대단히 느림(약 0.5~수 ms 이것을 시냅스 지연이라 부름.)에도 불구하고 다수의 뉴런에 의한 병렬분산 정보처리에 의해 엄청난 양의 정보를 처리합니다.

예를 들어 시각을 인식하는데 있어 외부로부터 정보를 받아들이는 망막에서부터 시상후부의 칠상체에 이르는 신경섬유의 수는 100만개에 이르고, 초당 100만개에서 1억 bit 정도의 방대한 정보를 단지 몇 단계 만의 연산을 통해 인식합니다. 뿐만 아니라 뉴런이 하루당 10만개 정도 파괴 되어가고 기타 외부작용에 의해 쉽게 파괴됨에도 불과하고 뇌의 정보처리 능력은 거의 영향을 않습니다.

그리고 뇌 신경의 또 하나의 중요한 특징으로는 학습능력과 자기 조직화능력을 지녔다는 것인데, 뇌는 외계와의 환경과 상호작용을 통해서 다양한 사항을 학습하고 그 정보를 기억하며, 자기조직화해 나갑니다.

2. 신경망의 작동원리

뇌신경은 기능적 구조적으로 대단히 복잡하지만 기본적으로는 뉴런이 기본 구성 소자가 되며 이들의 다수가 모여 3차원으로 밀접하게 결합된 신경망을 형성하고 있고 뉴런은 기본적으로 다른 뉴런은 다른 뉴런으로 부터 오는 화학적인 정보를 받아 처리하는 소포체 활동전위를 발생하는 축색 돌기, 활동전위의 능동 전송로인 축색 그리고 다른 뉴런으로 신호를 전달해주는 시냅스로 되어 있습니다.

신경의 수상돌기에서 다른 뉴런으로 부터 신호를 전달 받은 소포체는 이 입력신호의 경중을 따지게 되는데 그 정도를 시냅스 결합계수라고 부르며 시냅스 마다 다른데 크게 (+)값을 가지는 흥분성 시냅스와 (-)억제성 시냅스로 분류 됩니다. 그리고 각정보들의 통합처리 결과 어떤한계 값을 넘게 되면 축색 돌기에서 활동전위의 전기 펄스를 생성하고, 이렇게 생성된 신호가 축색을 통해 전기적으로 전송말단의 시냅스로 옮겨지고, 그 신호는 시냅스를 통해 다음 신경 세포로 화학적인 방식으로 전달 됩니다.

그런데 여기서 소포체가 받은 입력값과 소포체에서 처리한 결과를 출력하는 축색 돌기의 출력값이 비례하지 않고 한계값을 경계로해서 급격하게 응답이 변화하는 비선형적인 특성을 보입니다. 생물의 신경막은 내액과 외액의 이온조성이 크게 다른데 외액 중에는 나트륨이온이 많고 내액 중에는 칼륨이온이 많이 들어 있습니다. 신경막은 막표면에 고밀도인 음의 고정전하를 가 지고 있기 때문에 음이온은 막을 투과 하기 어렵고, 따라서 신경막의 전기현상은 양이온의 변화에 의해 이루어 집니다. 신경막은 2중으로 겹쳐진 지방층막 즉 지질로 이루어져 있고 이것의 내부에는 이온을 선택적으로 투과 시키는 채널 역활을 하는 단백질로 채워져 있습니다. 외액의 나트륨 이온은 세포내로 유입하려 하고, 내액의 칼륨이온은 밖으로 유출하려 하고 이 유동이 막전위에 의존해서 변화 하는 비선형 소자입니다.

이러한 비선형성을 창꼴두기의 거대 신경축색막에서 설명한 식이 호지킨-헉슬리 방정식으로 나타납니다.

이 때발견되는 카오스는 옆으로 누운 눈물방울 같은 어트랙터가 생긴다.

신경망 또는 뇌의 연구에 관하여는 다음의 site를 참고하기 바랍니다.

B. 시어핀스키 개스킷

앞에서 학습한 바와 같이 시어핀스키 개스킷은 주어진 삼각형에서 일정한 부분을 제거하는 것을 무한번 반복함으로써 만들어진다.

0 단계 : 정삼각형을 예로 들어 생각하자.

1 단계 : 세변의 중점을 표시하고 이 중점을 연결하면, 네 개의 삼각형이 만들어 지는데 삼각형의 중앙 부분에 있는 역삼각형을 제거한다. 이렇게 되면 3개의 작은 정삼각형이 남게 된다.

2 단계 : 남아 있는 3개의 작은 정삼각형에서 위의 단계 1에서와 마찬가지로 각각의 중점을 찾고 중앙부분에 있는 역삼각형을 제거한다. 그러면 3개의 더 작은 정삼각형이 남는다.

n 단계 : 1 단계와 2단계의 방법을 되풀이 하면 점점 더 작은 삼각형들로 세분되어 넓이가 0 에 가까워 지는 구멍이 매우 많은 삼각형이 된다.

시어핀스키 삼각형의 구성의 단계는 다음과 같다.

① 삼각형의 개수

0에서 4단계 까지 색칠된 삼각형의 수를 계산하라.

5단계에서 얼마나 많은 구간이 남아 있는가? 그리고 10단계에서는?

n단계에서 삼각형의 수를 계산하기 위해 일반화하여라. n이 한없이 커지게 된다면, 삼각형의 수는 어떻게 되는가?

단계	삼각형의 수

②삼각형의 면적

0단계에서 면적을 1이라 하자. 1에서 4단계 까지 색칠된 면적을 구하여라.

5단계에서 전체 면적을 계산하고, 한 단계에서 다음 단계까지 진행 하는데 사용되는 제곱수는 얼마인가를 계산하라.

n단계에서 전체 면적을 구하기 위해 일반화하라. n이 한없이 커진다면, 색칠된 면적은 어떻게 되는가?

단계	삼각형의 면적

③삼각형의 둘레의 길이

0단계에서 변의 길이를 1이라고 하자. 1에서 4단계까지 하위삼각형의 변의 길이를 구하라.

5단계에서 하위 삼각형의 변의 길이를 계산하고, 한 단계에서 다음 단계까지 진행하는데 사용되는 제곱수는 얼마인가를 계산하여라.

단계	삼각형의 둘레의 길이

C. 시어핀스키 카펫

프랙탈 집합의 또 다른 예로서 시어핀스키 카펫이 있다. 생성방법은 다음과 같다.

0 단계 : 정사각형에서 시작한다.

1 단계 : 주어진 정사각형의 가로와 세로를 각각 3등분하여 9개의 작은 정사각형을 얻은 다음 중앙에 있는 작은 정사각형을 제거한다.

2 단계 : 남아 있는 8개의 작은 정사각형에서 위의 1 단계에서와 같은 방법으로 가로와 세로를 3등분하고 더 작은 사각형을 제거한다.

n 단계 : 1 단계와 2 단계를 무한번 반복하면 사각 무늬를 갖는 시어핀스키 카펫이 만들어진다.

시어핀스키 카펫의 구성의 단계는 다음과 같다.

　다음 빈 칸에 들어갈 개수를 각자 구하여 보시오.

① 사각형의 개수

0에서 4단계 까지 떼어낸 사각형의 수를 계산하라.

단계	떼어낸 사각형의 수

4단계에서 사각형의 수를 계산하고, 한 단계에서 다음 단계까지 진해하는 데 사용되는 제곱수는 얼마인가를 계산하라.

n단계에서 색칠된 사각형의 수를 계산하기 위해 일반화하여라. n이 한없이 커지게 된다면, 사각형의 수는 어떻게 되는가?

②사각형의 면적

0단계에서 면적을 1이라 하자. 1에서 4단계 까지 떼어낸 사각형의 면적을 구하여라.

4단계에서 전체 면적을 계산하고, 한 단계에서 다음 단계까지 진행 하는데 사용되는 제곱수는 얼마인가를 계산하라.

n단계에서 전체 면적을 구하기 위해 일반화하라. n이 한없이 커진다면, 색칠된 면적은 어떻게 되는가?

단계	떼어낸 사각형의 면적

D. 칸토르 집합

(1) 칸토르 집합의 학습

수학적으로 중요한 의미를 갖는 칸토르 집합은 프랙탈 집합 중에서 비교적 간단한 것이다. 이 집합은 또한 줄리아 지합이 프랙탈 먼지(dust)이었을 때 발견된 집합이기도 하다.

0단계 : 이 집합을 생성하기 위해서는 폐구간[0, 1]의 점들의 집합으로 이루어진 선분으로 시작한다.

1단계 : 이 선분을 3등분한 것 중 가운데 것을 제거한다. 그러면 두 선분이 남는데, 두 선분은 각각 원래 선분의 1/3이다.

2단계 : 남아 있는 2개의 선분에서 1단계에서와 마찬가지로 선분을 3등분 한것 중 중앙부분의 개구간을 제거한다. 선분의 수는 2² =4가 되고, 선분의 길이는 (1/3)² 가 줄어든다.

n단계 : 1단계와 2단계를 무한번 되풀이 하면, 선분의 수는 2배가 되고 선분의 길이는 각 단계마다 1/3씩 줄어든다. 최종적으로 얻어지는 칸토르 집합은 원래 선분으로 부터 남는 점들의 먼지이다. 이것은 엄격한 자기 닮음의 성질을 가진 프랙탈이다.

① 칸토로 집합의 구간들의 수

0에서 4단계 까지 칸토르 집합의 구간의 수를 계산하여라.

5단계에서 얼마나 많은 구간이 새로이 제거되었는가? 그리고 10단계에서는?

단계	새로이 제거된 구간의 수

② 칸토르 집합의 구간의 길이

0 단계에서 4단계 까지 칸토르 집합의 구간의 길이를 계산하여라.

5단계에서 칸토르 집합의 구간의 길이는 ? 10단계에서는?

n단계에서 칸토르 집합의 구간의 수와 구간의 길이는 어떻게 되는가? (n단계에서 남아있는 구간의 수는 증가하지만, 각각의 길이는 급격히 작아진다.)

단계	구간의 길이

이 과정에서 전혀 제거되지 않는 점들이 있으므로 칸토르 집합은 공집합이 아니다. 예를 들면 제거된 개구간의 끝점은 칸토르 집합에 속한다.
그 이유는 각각의 단계에서 이 끝점에 가까운 구간은 제거했지만, 이 끝점들을 포함한 구간은 제거하지 않았기 때문이다. 그러므로, 점 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/8, 8/9 등은 모두 칸토르 집합에 속한다. 또한 칸토르 집합은 어떤 구간도 포함하지 않음을 알 수 있다. 왜냐하면 칸토르 집합이 어떤 구간을 포한한다고 가정하면, 그 다음 단계에서 이 구간의 3등분한 중앙 부분을 제거해야만 할 것이다. 이것은 칸토르 집합이 완전히 생성되지 않은 것을 뜻하므로 어떤 구간도 포함해서는 안된다. 이것은 칸토르 집합이 완전 분리 집합이다.

(2)하우스 돌프 차원(프랙탈 차원)

여기서 우리는 모든 자체유사성도형에 적용되는 일반 적인 관계식을 얻을 수 있는 데, 위 그림에서 각각의 경우는 다음과 같은 모양의 식을 얻는다.

(늘어난 비율) ^차원= 조각의 수

여기에 log를 적용하면,

(차원)=log _{(늘어난 비율)} (조각의 수)

칸토르 집합의 차원을 생각하면 조각의 수는 2배로 늘어 나지만, 그 조각의 길이는 1/3 으로 줄어든다.

즉 늘어난 비율=3, 조각의 수=2, 따라서 차원은 (log2)/(log3)=0.6309... 이다.

(3) 칸토르 집합의 응용예

만델브로트가 IBM근무할 때, 기술자들은 한 컴퓨터에서 다른 컴퓨터로 정보를 전달하는 데 사용되는 전화선에서 발생하는 소음때문에 고심했다. 전류는 분리된 묶음으로 정보를 운반하며, 기술자들은 전류를 강하게 할수록 소음이 줄어든다는 사실을 알았다. 그러나 일부 자연 발생적인 소음은 결코 제거할 수 없었다. 때때로 소음은 신호의 일부를 지워버려 오차를 일으키기도 했다.

전송소음은 그 특성상 임의적이긴 하지만, 집단적으로 발생한다는 것도 알려져 있다. 오차 없는 교신이 지속된 후에 오차없는 교신이 한차례 뒤따랐다. 만델브로트는 에러의 분포를 기술하는 방식을 제시했는데, 그방식으로 예측한 에러는 실제로 관찰된 것과 정확히 부합했다.

그의 분석은 깨끗한 전송시기와 오차 시기를 점점 세분화하는 것이었다. 하루를 24시간으로 구분한다고 가정해 보자. 한 시간 동안은 아무런 에러 없이 전송할 수 있다. 그 다음 한 시간은 에러를 포함할 수 있다. 그 다음의 한 시간은 오차 없이 전송할 수 있다.

그러나 에러를 포함하는 그 시간을 조금 더 작게 20분 간격으로 분할하여 보자. 그러면 어떤 기간은 오차가 전혀 없고 , 어떤 기간은 일련의 에러가 포함되어 있는 것을 발견할 것이다. 그는 오차가 연속적으로 발생하는 기간은 없을 것이라고 주장했다. 어떤 오차 내에도, 그것이 아무 짧더라도, 완전히 에러 없는 전송기간이 항상 존재한다. 그는 일련의 에러와 깨끗한 전송간에는 일정한 기하학적 관계가 있다는 것을 발견했다.

그는 결과적으로 칸토어 집합이라 불리는 추상적인 구조를 재현하고 있었던 것이다.

(4) 다음은 엑셀97에서 작성한 소스이다.

Sub 칸토어()
'
Const x = 20, y = 70, dx = 250, dy = 15
Call cantor(x, y, dx, dy)

End Sub

Sub cantor(x, y, dx, dy)
If dx > 2 Then
ActiveSheet.Shapes.AddShape(msoShapeRectangle, x, y, dx, dy).Select
Selection.ShapeRange.Fill.ForeColor.SchemeColor = Int((Rnd() + 1) * 30)
Selection.ShapeRange.ThreeD.SetThreeDFormat msoThreeD1
Selection.ShapeRange.Fill.Transparency = 0#

Call cantor(x, y + 30, 1 / 3 * dx, dy)

Call cantor(x + 2 / 3 * dx, y + 30, 1 / 3 * dx, dy)

End If
End Sub

본 강의에서는 iteration process에 대하여 학습하고, 그 응용으로 Sierpinski gasket, Sierpinsik carpet, Cantor set 등에 대하여 학습한다.