( 1 + x + x² )¹⁰  의 전개식에서   x⁶ 의  계수를 구하시오.

     앞에서 학습한 이항정리를 더욱 발전시켜서 다항정리를

증명하고 그 응용을  알아보도록 한다.

다항계수(multinomial coefficients ) 

    이항계수를 사용하면 이항정리 등의 간단한 전개식을 얻을 수

있다. 이 방법을 일반화하여 다항식의 전개에서 유용한

다항정리를 학습하도록 한다.

먼저 앞에서 학습한 바와 같이, 전체의 개수가

인 object를 한 줄에 나열하는 방법의 수는

이었다. 즉, n 개의 방이 있을 때, 먼저   n₁ 개를 고르는 방법은

또 ( n - n₁ ) 개 가운데서  n₂ 개를 고르는 방법은

이와 같은 방법으로 우리가 구하는 전체 경우의 수는

 이고, 따라서 가능한 경우의 수를

라 쓰며, 이를 다항계수 (multinomial coeffcient) 라고 한다.

  이제 다항계수를 이용하여 다음 다항정리를 증명하도록 합시다.

 

정리 1 (다항정리).   자연수 n 에 대하여      여기서  r0 + r1 + ... + rk = n 이고 모든  ri 는 음이 아닌 정수이다.

증명.    앞의 중복순열에서 학습한 내용을 참고하여 각자 증명하시오.

위의 다항정리에서 k = 1 인 경우는 이항 정리와 일치함을

알수 있다. 즉,  

이므로

     다항정리의 응용으로 다음의 예를 알아보도록 합시다.

 

예제 1. 위의 다항정리에서  x1 = x2 = ... = xk = 1 인 경우, 즉,  다항계수의 전체 합을 쉽게 구할 수 있다.

 

예제 2.         로 이해하면, 의 계수를 비교함으로써 다음을 쉽게 구할 수 있다.     ( 여기서   는 인  모든   i  에 대하여 더한다. )   예를 들면, ( 1 + x1 + x2 + x3 ) 12 의 전개식에서   12 x13 x24 x33   의 계수는 이고, 이것은  ( 1 + x1 + x2 + x3 ) 11 의 전개식에서, 의  합   와  같다.     ?

 

문제 1. 다음 다항계수의 합은 얼마인가 간단히 표현하여 보시오.

위의 다항계수의 특별한 관계식으로, 이항계수의 관계식

을 얻을 수 있다.

 

예제 3. k = 2 인 경우 , 다항계수 공식으로부터 Pascal의 삼각형공식의 3차원 일반화를 얻을 수 있다. 즉,

이제 음의 정수에 관한 이항계수를 생각하여 봅시다.

 

정리 2.    n 이 자연수일 때,

증명. (1) n = 1 인 경우 :

 이므로

           (※)

이다. 따라서, 준식은 성립한다.

(2) n > 1 인 경우는 (※)를 반복하여 미분함으로써 준식을 얻을 수 있다.

즉,

이므로,  (※) 의 양변을 ( n - 1)  번 반복하여 미분하면

양변을  ( -1 )^n-1 ( n - 1 ) !  로 나누면

 여기서  j = k - n + 1  이라 두면,   k = j + n -1  이므로

          ?

 

Notation.

r < 0 인 경우에

은 모두 0 이 되어야 자연스럽다.  그러면

                                     (1)

이고,  이 식은 이항계수의 관계식

과 관련이 있음을 알 수 있다.

  

문제 2.    위의 식(1)을 증명하여 보시오.

n = 3 , j = 2 인 경우에  식(1) 은

이다.

  음의 정수에 관한 이항계수를 포함한 Pascal의 삼각형의 표는

다음 표와 같다.

  표 1  

위의 표를 이용하면, 음의 정수에 관한 일반화된 이항정리는

다음과 같다.

 

문제 3. (1) ( x + y + z )6 의 전개식에서 계수의 총합은       얼마인가? (2) ( x + y + z + w )8 의 전개식에서 계수의 총합은  얼마인가?

 

문제 4.( 1+ x + 2x2)6 의 전개식에서  x4 의 계수는 얼마인가?

 

문제 5. 표 1을 사용하여 다음 전개식에서 처음 5 째항까지 쓰시오.

  

문제 7.   3 차원 격자공간에서의 점 ( 0 , 0 , 0 ) 에서 점 ( 3, 4, 5 ) 로 가는 가장 최단의 경로는 모두 몇 가지인가 알아보시오.

     앞에서 학습한 이항정리를 더욱 발전시켜서 다항정리를

증명하고 다항계수의 응용을  알아보았다.

   아들 또는 딸을 출산할 확률은 각각  1/2 씩이라고

가정할 때, 네 자녀를 둔 어떤 가정이  1남 3녀일 확률은

얼마인가 구하시오.

  이항정리가 확률의 문제에 적용되는 것을 알아보고

기대값에 대하여 학습한다.

이항확률 (binomial probabilities)

 

이항정리가 확률의 문제에 적용되는 것을 알아보도록

합시다.

 

예제 1. ○, ×로 답하는 문제가 6개 있다. 학생이 아무 생각도 없이 ○, ×표를 할 때, 적어도 2 문제가 맞을 확률을 구하여라.

풀이 . 각 문제에 대하여 맞을 확률은 1/2 ,  틀릴 확률은  1/2 이다.

적어도 2 문제가 맞을 경우는 5 문제 이상이 틀리는 것의 여사건이므로

우선 6 문제 모두 틀릴 경우와 6 문제 중 5문제가 틀릴 경우의 확률을

구하여 계산한다.

먼저 6 문제 모두 틀릴 경우의 확률 :

6 문제 중 5 문제가 틀릴 경우의 확률 :

따라서  5 문제 이상 틀릴 경우의 수는

이고,  구하는 확률 P 는

이다.     ?

 

예제 2. 영희는 4명의 애들이 있는 가정에서 보모를 하고 있다. 이 때 아이들이 모두 남자일 확률은 얼마인가? 또, 2명이 남자, 2명이 여자일 확률은 얼마인가? (단, 임의의 아이가 남자일 확률은 0.49, 여자일 확률은 0.51 이라고 가정한다. )

풀이.

(1)  4 명 모두 남자일 확률은

(2)  2 명이 남자,  2 명이 여자일 확률은

즉, 남자를 B, 여자를 G라고 하면 4명의 아이가

의  6 가지 경우가 있으며, 각각의 경우는 (0.51)² (0.49)²이다.

 ?

 

위의 두 예에서 볼 수 있듯이, 모든 시행에서

 

(ⅰ) 항상 2가지 경우만 나타난다.

(예를 들면, ○, × ; 남자, 여자 ; 성공, 실패)

(ⅱ) 확률은 모든 시행에 있어 꼭 같다.

(ⅲ) 모든 시행은 독립적이다.

 

인 성질을 갖는 시행을 Bernoulli trials (베르누이 시행)

이라고 한다.

예제 2의 경우에

         여자를 success (S)

         남자를 failure (F)

라고 두고, S 일 확률은 p,   F 일 확률은   q 라 하면,

q = 1 - p

또, 모든 시행은 S 와 F 중의 하나이고 , 독립적이다.

이때, k 개의 S 와  (n-k) 개의  F 가 있을 확률은

이다.    또,  가지의 방법이 가능하므로 구하는 확률은

이다.

 

정리 3.  n 개의 Bernoulli 시행에서, 성공일 확률이 p 일 때, k 개가 성립할 확률은                        이다.  여기서  q = 1 - p 이다.

 

예제 3. 6명의 남자에 대하여 생명보험정책을 결정하려고 한다. 이 때 각 사람이 앞으로 20년 더 생존할 확률을 0.60 이라고 가정하자.  이 때, (1) 4명이 앞으로는 20년 더 생존할 확률은 얼마인가 알아보시오. (2) 적어도 4명이 20년 더 생존할 확률은 얼마인가?

풀이.

(1) n = 6 , k = 4 이고  

 p = 0.60 ,  q = 1- p = 0.40 이므로 구하는 확률은

(2) 적어도 4명이 20년간 더 생존할 확률은

 ?

 

예제 4.  A 마을의 유권자 중에서 공화당 지지가 62%, 민주당 지지가 38%이다. 이 때, 5명의 유권자를 임의로 골랐을 때, 정확히 한 명이 민주당 지지자일 확률은   또, 5명의 유권자를 임의로 골랐을 때, 적어도 한 명 이상이 민주당 지지자일 확률은 또는, 여사건으로 계산하면,

 이항정리의 식에서부터

그런데  p + q = 1 이므로,  모든 사건의 확률의 합은 1 임이 분명하다.  즉,

 Ei 는 모든 가능한 사건을 나타내고, p(Ei) ,  P(Ei) 를 각각 사건 Ei

가 일어날  확률과 상금이라고 가정하면 이 시행의 기대값 E는

임을 이미 증명하였다.

    베르누이 시행에서 보상금을 성공한 시행 회수만큼 준다고

가정하면, 이 때 기대값  E를 알아보도록 합시다.

따라서 성공 확률이 p 인 베르누이 시행을 n 번 시행하였을 때 성공할

시행의 기대값은 pn 이다.

(이항분포에서의 평균은 np  , 분산 npq 임을  확인하세요. )

 

예제 5. 방송퀴즈에서 엽서로 응모할 때 당첨되면 음악회 입장권을 준다. 이 때, 당첨될 확률은 25%이다. (1) 이 때, 4통의 엽서를 응모하여 기대되는 음악회의 입장권의 기대값은? (2) 또, 6장 엽서를 응모하여서 적어도 한 장 이상의 입장권을 얻을 확률은?

풀이.

(1)  k 장의 입장권을 얻을 수 있는 확률은

이므로, 입장권의 기대값  E 는

 E = 4 * 0.25 = 1

(2)  여사건을 이용하면,

 

문제 1. 동전을 9번 던졌을 때, 앞면이 정확히 5번 나올 확률은 얼마인가 구하시오.

  

문제 2. 주사위를 세 번 던졌을 경우, 다음 각 사건의 확률을 구하시오. ⑴ 2가 한 번도 나오지 않을 경우 ⑵ 2가 한 번 나올 경우 ⑶ 2가 두 번 나올 경우 ⑷ 2가 세 번 나올 경우 ⑸ ⑴부터 ⑷까지의 확률의 합은?

  

문제 3. 3 문제 중 2 문제를 풀 수 있는 학생이, 4 문제 중에서 2 문제를 풀면 합격되는 시험에서 합격할 확률을 구하여라.

  이항정리가 확률의 문제에 적용되는 것을 알아보고 기대값에

대하여 학습하였다.