제 2 장    다양한  세기의  방법        

 

          3.  확률과 그 응용

     

 3.  확률(probability)과 그 응용 

 

 

 

 

   두 개의 주사위를 던지는  실험에서,  두 주사위의 눈의

합이 5가 될 확률은 얼마인가 생각하여 보시오. 

 

 

 

다양한  세기의 방법을 활용하여 기초적인 확률이론과

그 응용에  관하여 학습하도록 한다.

 

 

 

 

            확률(Probability)과 그 응용

 

앞에서 학습한 다양한 counting의 방법은 확률이론에 직접

적용된다. 확룔론의 응용은 전통적인 활용분야인 자연과학,

공학 등이 주종이었으나 최근에 와서는 경제학,보험학, 의학,

정치학 등 다양한 여러 분야에서 활용되고 있다.

 

먼저 확률론에 관한 용어를 알아보도록 합시다.

 

동전을 던질 때 '앞면' 또는 '뒷면'이 나오는 것과 같이 시행의

결과로서 일어 나는 일을 사건(event)라고 하고 어떤 시행에서

나올 수 있는 모든 가능한 사건들 전체의 집합을 표본공간

(sample space)이라고 한다.

 

표본공간을 S 라고 하고, 원하는 사건의 집합을 A 라고 하면

사건 A 가 일어 날 확률은

로 정의한다.

 

 

     

    예제 1.  2 개의 주사위를 동시에 던져서

    (1) 두 눈의 합이 2가 될 확률은?

    (2) 두 눈의 합이 7이 될 확률은?

    (3) 두 눈의 합이 짝수가 될 확률은?


     

 

풀이.

(1) 두 주사위  A,B를 던져서 나온 두 눈을 각각 a,b 라 하고, 순서쌍으로

표시하여  ( a , b ) 라 두면  표본공간 S 는 다음과 같다.

    S = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) ,

           ( 1 , 5 ), ( 1 , 6 ) ,( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , … ,

           ( 6 , 4 ) , ( 6 , 5 ) , ( 6 , 6 ) }

따라서 S의 원소의 개수 n(S)=6×6=36 이다.

그런데 원하는 사건은 (1, 1) 인 경우이므로 구하는 확률 P는

                                        P =  1/36

 

(2) 두 눈의 합이 7 이 되려면 원하는 사건은

(1 ,6 ) , (2 ,5 ),( 3 , 4 ),( 4 , 3 ) ,( 5 , 2 ),( 6 , 1 )

모두 6가지이므로 구하는 확률은

 

(3) 두 눈의 합이 짝수가 되려면 원하는 사건은

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5)

…(6,2),(6,4),(6,6)

등 모두 18가지이므로 구하는 확률은

실제로 나오는 눈의 모양을 분류하면

(홀수,짝수) , (홀수,홀수) , (짝수,홀수) , (짝수,짝수)

의 네 가지 모양이고 이 중 두 가지 모양은 두 눈의 합이 짝수이다.

따라서 구하는 확률은

이다.    ?

 

 

     

    예제 2. 100 부터 999 까지에서 임의의 수를 하나

    고를 때, 그 숫자에 3 이 포함되지 않을 확률은 얼마인가

    구하여 보자.

     

 

풀이. 먼저 100 부터 999 까지 모두 900 개의 숫자가 있다.

세 자리 숫자는 만약 ABC 라고 표기한다면,

      A 에는 1, 2, 4, 5, …, 9 의 8 가지가 가능

      B 에는 0, 1, 2, 4, 5, …,9 의 9 가지가 가능

      C 에는 0, 1, 2, 4, 5, …,9 의 9 가지가 가능

따라서 원하는 사건은 모두 8×9×9 가지가 가능하다.

그러므로 구하는 확률은

    ?

 

     

문제 1. 10 부터 99 까지에서 임의의 숫자를 고를 때, 그

숫자에 3 또는 5가 포함되지 않을 확률은 얼마인가 알아

보시오.

 

 

  

   이제 확률론의 공리적구성에 대하여 잠시 알아봅시다.

먼저 확률론의 발달 초기부터, 자연 현상의 연구에 확률 이론의 응용을 필요

로 하는 경우는 많았다. 그러나, 명확하지 않은 확률의 개념과 정의로 인하여

간혹 문제의 풀이에서 혼동이 빚어지곤 하였다.   그럼에도 불구하고, 확률

이론은 불완전한 형태인 모습으로 과학의 여러  분야 에서 응용되어

성공적인 여러 결과를 얻었다. 이러한 역사적 발전 과정에서, 금세기 초반에

자연과학이 괄목할만한 발전을 이룸에 따라 확률 이론의 기본 개념이

체계적으로 정립되어야 할 필요성이 더욱 커졌던 것 이다.   이에 따라

등확률의 개념으로 정의된 고전적 확률이나 상대돗수의 극한

으로 정의된 통계적 확률이 지니고 있는 기본적 성질들을 공리로 채택하여

체계적으로 확률 이론을 발전시킴으로써, 현대의 확률론이 생겨난 것이다.

일반적으로 확률론에서는 표본공간 S가 무한인 경우에는 무한 개의

"사건"  A1,A2,... 을 다루게 된다. 이 때에

로 정의된 "사건"

 와   

를 각각  A1 ,  A2  ... 의   합사건 , 곱사건  이라 한다.

따라서, 합사건

가 일어난다는 것은  A1, A2...중에서 적어도 하나의 사건이 일어남을

뜻하고 , 곱사건

가 일어난다는 것은 사건  A1  , A2  ...가 모두 일어남을 뜻한다.

사건 A1, A2  ...들 중에서 임의의 서로 다른 두 사건 Ai와 Aj

 에 대하여

이면, 사건 A1, A2  ...는 서로 배반이라 한다. 각 사건 A에 대하여

다음의 세 공리를 만족시키는 실수값 함수 P(·)를 확률측도(確率測度)라

하고, 함수값 P(A)를 사건 A의 확률(確率)이라고 하며,  확률함수 P는

다음의 공리로서 약속된다.

 

 

       확률함수의 공리 

    (Ⅰ) 임의의 사건 A에 대하여

    (Ⅱ) 표본공간 S에 대하여

    (Ⅲ) 사건…가 서로 배반이면

     

 

 

    확률의 공리 (Ⅲ)을 가산가법성(countable additivity)

이라 하고, 유한개의 사건인 경우 유한가법성(finite additivity)

이라 한다.

       A1, A2,...An이 서로 배반인 사건이면

                                         

 이다.

 

    이제 확률함수의 기본 성질을 알아보도록 합시다.

 

     

    정리 1.

     

 

증명. 성질 ⒜와 ⒝는 이미 앞에서 유도되었다. 이제, 성질 ⒞에 대하여

생각해 보자.       이면    이고 A 와 B-A  

는 서로 배반이다.   따라서, 유한가법성으로부터

이다.  따라서, 성질 ⒞가 유도되고, 공리 (I)로부터

이므로 단조성이 성립함은 명백하다. 성질 ⒞에서  B  = S  인 경우를

생각 하고, 공리 (II)를 적용하면 성질 ⒠가 유도된다. 또한, 성질 ⒡는

성질 ⒠와 공리 (I)로부터 유도된다.     ?

 

 

     

    예제 3.  5장의 당첨 복권을 포함하여 모두 10,000장의

    복권이 발매되고 있다고 하자. 이 때, 10장의 복권을

    구입하는 사람이 적어도 한 장의 당첨 복권을 구입하게

    될 확률을 구하여 보시오.

     

 

풀이. 구입한 10장의 복권 중에 적어도 한 장의 복권이 있을 사건을 A라

하면, Ac는 9,995장의 비당첨 복권 중에서 10장의 복권을 구입하는 사

건 이다. 따라서, 구하는 확률은

이다.       ?

 

 유한가법성이나 가산가법성으로부터 서로 배반인 사건들의 합사건에

대한 확률의 계산을 간단히 할 수 있다. 그러나, 일반적으로는 합사건의 확률

계산은 매우 복잡하게 되어, 다음 정리에서 주어지는 합사건의 확률에 대한

상한은 매우 유용하다.

  

     

    정리 2.

    ⒜ (가산 반가법성) 임의의 사건 A1, A2  …에 대하여

    ⒝ (유한 반가법성) 임의의 사건 A1, A2  …에 대하여

     

 

 

증명.   사건  B1,B2,… 를

로 정의하면, 사건 B1,B2,… 는 서로 배반이고

가 성립한다. 따라서, 가산가법성과 단조성으로부터

을 얻게 되어, ⒜가 성립한다. 또한 ⒜에서

로 하면 ⒝가 성립하는 것은 명백하다.     ?

 

정리 2의 성질 ⒜와 ⒝는 각각 가산반가법성(countable

subadditivity),  유한반가법성(finitesubadditivity)

이라고 부른다.

 

 

    이제 유한개의 사건에 대한 합사건의 확률 계산을 생각해

보자.

         첫째로,  두 사건 A1, A2의 합사건

의 확률 계산에 대한 공식을 구해보자.

이고

        

 이므로, 유한가법성에 의하여

     

                             

이다.   또

  이므로 정리 1의 ⒞에 의해

이다.

따라서, 다음의 공식을 얻을 수 있다.

 (4)

 

같은 방법으로, 세 사건의 합사건에 대하여 다음의 공식이 성립하는 것을

보일 수 있다.

 

이제, 이 공식을 n개의 사건의 경우로 일반화시키기 위하여,

다음과 같은 기호를 정의하자.

     

  

즉, Sk는 A1,A2 ..., An중에서 k개의 사건이 동시에 일어날 확률들의

합을 나타낸다. 이러한 기호를 사용하여, 일반적인 경우의 공식을 다음과

같이 나타낼 수 있다. 이의 증명은 수학적 귀납법으로 가능한 것으로

나중에 포함배제의 원리를 학습하면 쉽게 해결할 수 있으므로 지금은

생략하기로 한다.

 

     

    정리 3. 임의의 사건 에 대하여

                         (5)

       

 

     식 (5)로 주어지는 공식을 실제 문제에서 이용하는 경우는 흔히

사건 A1,A2 ... An 의 확률이 대칭적으로 주어질 때다.

여기에서 대칭적이라 함은

임을 뜻한다.    따라서, 이러한 경우에는

 ( k = 1, ..., n )              (6)

로 주어진다.

 

 

     

    예제 4. (Matching Game)  n쌍의 부부가 남편은

    남편끼리, 부인은 부인끼리 두 줄로 임의로 늘어설 때 ,

    적어도 한 쌍의 부부가 서로 마주보고 서게 될 확률을

    구하여 보시오.

     

 

풀이. 한 부부는 동일한 번호를 갖는 것으로 하고, 남편과 부인들에 각각

1번에서 n번까지 번호를 붙이고, i번의  번호를 가진 남편과 마주보고 선

부인의 번호를xi 라고하자. 이와 같이 하면, 이 실험의 결과는1,2…,n 의

순열인(x1,x2,…,xn) 으로 나타낼 수 있으며, 각각의 실험 결과는 동일한

확률로 일어나는 것이다. 이제, i번재 부부가 서로 마주보고 서는 사건을

Ai라고 하면, 구하는 확률은

이다. 또한, 어떤 부부들이든 k쌍의 부부가 서로 마주보고 서게 될 확률은

로서 동일하게 주어진다.   따라서,   정리 3 에 의해 구하는 확률은

로 주어진다.    그리고  이 확률의 근사값이

 임을 알 수 있고,  이는 n이 별로 크지 않아도 참값에 매우 가까운 것을 아래

의 표로부터 알 수 있다.

 

n

3

4

5

6

7

0.6667

0.62500

0.63323

0.63196

0.63214

 

 

 

다양한 세기의 방법을 활용하여 기초적인 확률론과  그

응용에 관하여 학습하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 제 2 장    다양한  세기의  방법        

 

           4.  조건부 확률과 기대값  

 

 4.  조건부 확률과 기대값

 

 

   서로 다른 두 개의 주사위를 던졌을 때, 눈의 합이

6인 것을 알고 있다고 한다. 이 때, 두 개의 주사위가

모두 3의 눈이 나올 확률은 얼마인가 구하시오. 

 

다양한 세기의 방법과  기초적인 확률이론을 활용하여

보다 발전된 확률개념인 조건부확률과  기대값에 관하여

학습하도록 한다. 

 

 

 

 

       

          조건부 확률과 기대값

 

    확률은 어떤 시도에서 일어날 일을 말하는 것이 아니라

오랜 시간을 두고 예상 되는 평균의 의미를 갖는다고 말할 수

있다.

 

    이제 어떤 게임에서 n개의 사건

이 생길 수 있고, 각각의 사건

가 일어날 확률을

각각의 사건   

                                                    

에 대한 보상 (상금 또는 벌금 등)을

 

 

라하면, 이 게임을 할 때 기대할 수 있는 기대금액 E 는

으로 약속한다.    이같은 값 E를  우리는 이

게임의 기대값 (expectation of the game ) 이라고 한다.

 

  

     

    예제 1. 10,000 명이 어떤 TV 경품대회에 우편엽서로

    응모를 하였다.

    이 때, TV 경품대회의 당첨자는 1 명이고, 상품으로는

    20 만원 상당의 TV를 준다고 하면, 각자 기대할 수 있는

    기대값은 얼마인가 알아보시오. (단, 우편엽서의 값은

    200원이라고 하자.)

     

 

풀이.    각자 당첨될 확률은

이고, 상금은 200,000 원, 또 각자 당첨안될 확률은

이고, 비용은  200원 이므로, 기대값 E는

 

 

따라서, 기대값이 음수이므로 각자에게 손해가 예상되는 게임이라고 할 수

있다.     ?

 

다음은  The Gane of Mastermind 라고 불리는 게임이다.

 

     

    예제 2. 각각 다른 색이 칠하여진 막대 7 개 중에서 6

    개를 골라서 6 개의 hole에 각각 한 개씩 꽂았다. 이 때,

    막대를 모두 꺼낸 후 다시 막대 7 개 중에서 6 개의

    막대를 임의로 골라서 다시 hole에 꽂을 때, 처음의

    경우와 같은 색이 들어 있을 hole의 기대 개수는

    얼마인가 알아보시오.

     

 

풀이. i = 0, ..., 6 에 대하여 사건

를 각각 ( 6 - i ) 개가 일치하는 사건이라고 하면, 각각의 i 에

대하여

개의 경우가 가능하다. ( 이것은 i 개가 틀리게match되는 경우의 수를 의미

한다.) 그러면 나머지 (6-i)개는 일치하므로 (즉, 한 가지이므로) 색이 일치

하는 hole의 개수의 기대값 E 는

 

 또 이 문제의 해결은  다음과 같이 간단한 추측 방법도 있다.

한 개의 hole에 관심을 두면, 처음의 경우와 같은 색으로 일치될 확률은

이고, 일치되지 않을 확률은

이다.    따라서 기대값은

그런데 모두 6 개의 hole이 있으므로 전체로 기대할 수 있는 hole 의

기대값은

이다.    ?

 

위의 풀이를 보면, 어떤 의미에서는 확률보다 기대값이 더 좋은

현실적인 의미를 갖는다고 해석할 수 있다.

 

 

     

    문제 1. 갑과 을 두 사람이 있다. 갑은 6개의 동전을 갖고

    있고,을은 5개의 동전을 갖고 있다.

    이 때, 두 사람이 동전을 모두 던졌을 때, 갑이 던진

    동전의 앞면의 수가 을이 던진 동전의 앞면의 수보다 더

    많을 확률을 구하시오.

     

 

 

 

     

    문제 2. (The St. Petersburg Paradox) 두 사람 A,

    B가 동전을 던져 앞면이 나오면 이기는 게임을 한다.

    이 때, n 번째 toss에서 앞면이 나오면A가 B에게 2n

    만원을 주기로 한다.

    그러면 B는 A에게 얼마를 지불하여야 이 게임이 공정한

    가를 생각하여 보시오.

    (실제로

                 

    이 지불되는 사건이 일어날 확률은각각

                  2-1, 2-2, 2-3…

    이므로, B가 기대할 수 있는 수입은 무한하다고 볼 수

    있다.  즉,

    따라서, 이것은 B가 A에게 무한대의 금액(?)을 지불

    하여야 이 게임이 공정하다는 의미인가를 생각하여

    보시오.)

     

 

 

 

    이제 조건부확률에 대하여 알아보도록 합시다.

 

   한 대학의 신입생 n명 중에서 남자가nB 명, 여자가(n-nB)명 있고,

신입생 중에서 안경을 쓴 사람은 nA명 있다고 하자.

이 대학의 신입생 중에서 한 명을  임의로 택할 때, 안경을 쓴 사람이 뽑힐

사건을 A, 남자가 뽑힐 사건을 B 라 하면 이 실험에서 A와 B의 확률은

각각

  (1)

로 주어진다.

또한, 신입생 중에서 남자이며 안경을 쓴 사람의 숫자를

로 나타내면, 이와 같은 실험에서 남자이며, 안경을 쓴 사람이 뽑힐 사건

이 일어날 확률은

        (2)

 

로 주어진다.

 이제 신입생 중의 일부인 남자 신입생 중에서 한 명을 랜덤하게 택하는

경우를 생각해 보자.

이 때에는 안경을 쓴 사람이 뽑힐 사건 A의  "확률"은

임은 명백하다.

즉, 이 경우에는 실험 결과 전체의 집합이 B로 국한됨으로써 사건 A의

"확률" 이 식 (1)과 달리 주어진다.  따라서, 이 경우에는 실험 결과 전체의

집합이 B임 을 확실히 하기 위하여 사건 A의 "확률"을

라는 새로운 기호로 나타내고, 이를 "사건 B가 주어진 경우에 사건

A의 확률"이라 부른다. 즉, 이와 같이 B를 전제로 하는 실험에서 사건 A의

확률은 다음과 같이 주어진다.

 

  (3)

 

 로 정의한다.

 

 이상에서 알아본 바와 같이, 주어진 표본공간 S의 일부인

한 사건 B를 전제로 하는조건부 실험을 생각할 수 있다.

이 때 생각할 수 있는 확률의 개념은 일반적인 경우와 같으며,

단지 사건 B를 전제로 하는 점이 다를 뿐이다.

  

   일반적으로, 사건 B가 주어진 경우, 사건 A의   

조건부 확률 (conditional probability)을

    

로 정의한다.

  

    이와 같이 정의된 조건부 확률은 원래의 실험으로부터 사건 B를

새로운 표본공간으로 축소시킨 실험에서의 확률을 뜻한다.특히, 원래의

실험이 등확률 모형인 경우에는 식 (3) 과 같이  조건부 확률을 계산할 수

있다.

 

 

     

    예제 3. 검은 공이 b 개, 흰 공이 w개, 빨간 공이 r개 들어

    있는 상자에서 k 개의 공을 동시에 추출한다고 하자.

    이제, 꺼내어진 k개의 공 중에서 j 개가 빨간 공인 것을 알

    때, 나머지 k-j 개 중에서  i 개가 흰 공일 확률을 구하여

    보시오.

     

  

  풀이.  동시추출된 k개의 공 중에서 j개가 빨간 공일 사건을 B, i개가 흰

공일 사건을 A라고 하자. 사건 B가 주어진 경우에는 동시추출된 k 개중에서

j 개의 빨간 공을 제외한 (k-j)개의 공을 b개의 검은 공과 w개의 흰 공이

들어 있는 상자에서 동시 추출 하는 것으로 생각할 수 있다. 따라서, 구하는

확률은

            

로 주어진다. 실제로, 정의에 의해 조건부 확률 P(A|B) 를 구하여 보면

이와 같은 값을 얻을 수 있다.

 

  다음의 예는 조건부 확률을 생각할 때 원래의 실험의 기술, 즉

표본공간의 표현에 유의해야 하는 경우를 보여준다.

 

 

예제 4. 동전 두 개를 던지고 그 결과를 직접 관측하지 못하고,

두 동전 중에서 하나가 앞면임을 알았을 때, 다른 하나의

동전도 앞면으로 나타났을 조건부 확률을 구하여 보자.

 

 

   동전의 앞면과 뒷면을 각각 H,T로 나타내면 이 경우에

표본공간

               Ω = {HH, HT, TH, TT}

로 나타낼 수 있고, 각 경우의 확률은 1/4로 주어진다. 그리고

두 동전 중에서 하나가 앞면으로 나타나는 사건은

                A = { HH, HT, TH }

로 주어지고, 두 동전 모두가 앞면으로 나타나는 사건은

                B = { HH }

로 주어진다. 따라서, 구하는 조건부 확률은

 

로 주어진다.

 

   다음에는, 동전 두 개를 던지고 그 결과를 모두 관측하지

못하고 두 동전 중에서 하나만을 볼 수 있다고 하자. 이 때,

관측된 동전이 앞면으로 나타났을 때 다른 하나의 동전도

앞면일 확률을 구하여 보자.

이 경우에는 어느 동전이 선택되어 관측 되는 것인지를 명확히

하여 표본공간을 생각할 필요가 있다.

관측되는 동전이 첫 번째인 경우와 두 번째인 경우를 각각 1,2

로 나타내면, 표본공간을

(*)

Ω= {HH1, HH2, HT1, HT2, TH1, TH2, TT1, TT2}                                          

로 나타낼 수 있다. 여기에서 HT1은 동전이 나타난

결과는 HT 이고 관측된 것은 첫 번째 동전임을

나타낸다. 물론, 여기에서 각 경우의 확률은 1/8로

주어진다.

식 (*)와 같이 표본공간을 나타내면, 관측된 동전이

앞면일 사건은

         C = {HH1, HH2, HT1, TH2}

이고 두 동전이 모두 앞면으로 나타날 사건은

         D = {HH1, HH2}

로 주어진다. 따라서, 구하는 조건부 확률은

 

로 주어짐을 알 수 있다.    ?

 

  조건부 확률의 응용

  일반적으로, 확률에 관한 문제에서는 여러 개의 사건들을

다루게 되고 이들 상호간의 관계를 파악하는 것은 확률의

계산에서 필연적인 과정이다. 이러한 과정에서 조건부 확률은

매우 유용하게 쓰일 수 있다.

이제부터 조건부 확률의 기본적 성질을 살펴보고 이의 이용의

예를 알아보기로 한다.

첫째로, 조건부 확률의 정의로부터

 P(A∩B) = P(A｜B). P(B)               ( P(B)>0 )

임은 명백하다. 이를 n개의 사건에 축차적으로 적용시키면

  P(A1∩A2)=P(A2｜A1)P(A1)         ( P(A1)>0 )

  P(A1∩A2∩A3)=P(A3｜A1∩A2)P(A1∩A2)  

   (P(A1∩A2)>0 )

   …………

  P(A1∩...∩An)

   = P(An｜A1∩...∩An-1)P(A1∩...∩An-1)

          ( P(A1∩...∩An-1)>0 )

임을 알 수 있다. 따라서, 다음의 정리를 얻을 수있다.

 

 

정리 A.   임의의 사건 A1,...,An 에 대하여

 P(A1∩...∩An-1)>0 이면,

 P(A1∩...∩An)=P(A1)P(A2｜A1)P(A3｜A1∩A2)

        ...P(An｜A1∩...∩An-1)

 

 

       사건의 독립성

 일반적으로 사건 B가 주어진 경우에 사건 A의 조건부

확률 (A｜B)는 A의 확률 P(A)와 같지 않다. 즉, 사건

B의 출현 여부에 관한 정보는 사건 A의 출현

가능성에 변화를 주는 것이다.

그런데, 특수한 경우로서 P(A｜B) = P(A) 이면 B의

출현 여부에 관한 지식은 사건 A의 출현

가능성에 아무런 영향을 미치지 않는다는 뜻이다. 이러한

의미에서 P(A｜B) = P(A) , 즉

    P(A∩B) = P(A) P(B)            (**)

 일 때, 사건 A와 B는

서로 독립(mutuallyindependent)이라 한다. 식

(**)에서는 P(B) = 0 인 경우도 포함되어 있으며,

사건 A와 B는 대칭적인 역할을 하고 있음에 유의할

필요가 있다.

 

 

예제 5.  흰 색과 빨간 색의 주사위 두 개를 던질 때,

흰 색 주사위의 눈이 홀수일 사건을 A, 빨간 색

주사위의 눈이 짝수일 사건을 B, 두 주사위의 눈의

합이 홀수일 사건을 C라 하자. 이 때, 표본공간의

경우의 수는 36 이고, 사건 A의 경우의 수는 3 x 6 =

18 , 사건 B의 경우의 수는 6 x 3 = 18 , 사건 C의

경우의 수는 2 x 2 x 3 = 18 이므로,

    P(A)P(B)P(C) = 18/36 = 1/2

이다. 또한 , A∩B = B∩C = C∩A 이고 A∩B 의

경우의 수는 3 x 3 = 9 이므로,

    P(A∩B) = P(B∩C) = P(C∩A) = 9/36 = 1/4

이다. 따라서,

    P(A∩B) = P(A)P(B)

    P(B∩C) = P(B)P(C)

    P(C∩A)= P(C)P(A)

가 성립하므로, A와 B, B와 C, C와 A는 서로

독립이다.      ?

 

 

 

이제 두 사건의 독립성의 개념을 세 사건의 경우로

일반화하는 것에 대하여 생각해 보자. 예제 5 에서와

같이

    P(A∩B) = P(A)P(B)

    P(B∩C) = P(B)P(C)

    P(C∩A)= P(C)P(A)

가 성립하면, 세 사건 A, B, C 중에서 임의의 두

사건이 독립임을 뜻하므로 세 사건 A, B, C는 쌍으로

독립(pairwise independent) 이라 한다. 한편, 예제

5에서  A ∩B ⊂ C 이므로,

 

 이고, 이는 P(C) = 1/2 과 같지 않음을 알 수 있다.

즉, A, B, C는 쌍으로 독립이지만, A와 B의 출현

여부에 관한 지식이 중첩되면 C의 출현 가능성에

영향이 미치는 것이다. 그러므로, 이러한 경우에는 세

사건 A, B, C가 진정한 의미로 "독립"이라고 할 수는

없는 것이다. 따라서, 이러한 경우를 배제하기 위하여

세 사건 A, B, C에 대하여

    P(A∩B) = P(A)P(B)

    P(B∩C) = P(B)P(C)

    P(C∩A)= P(C)P(A)

    P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)      (3)

이 성립할 때, 세 사건 A, B, C는 서로 독립(mutually

independent)이라 한다.

 

예제 5에서는

   P(A∩B∩C) = P(A∩B) ≠ P(A)P(B)P(C)

이므로, 세 사건 A, B, C 는 쌍으로 독립이지만 서로

독립은 아니다. 서로 독립인 세 사건에 대하여는 예제

5와 같은 경우가 일어나지 않음은 다음 정리로부터 알

수 있다.

 

 

정리 B.

⒜ A, B, C가 서로 독립이면 A, B도 서로 독립이다.

⒝ A, B, C가 서로 독립이면 A도 서로 독립이다.

⒞ A, B, C가 서로 독립이면 A도 서로 독립이다.

 

 

증명 .A∩B∩Cc = A∩B - A∩B∩C 이고

A∩B∩C⊂A∩B 이므로,

     P(A∩B∩Cc) = P(A∩B) - P(A∩B∩C)

이다. 따라서, A, B, C가 서로 독립이면 식 (3)으로부터

   P(A∩B∩Cc) = P(A∩B) - P(A∩B∩C)

   P(A)P(B) - P(A)P(B)P(C)    

   P(A)P(B)P(Cc)    

이다. 같은 방법으로,

   P(Bc∩C) = P(Bc)P(C) , P(C∩Ac)= P(C)P(Ac)

   P(A∩B) = P(A)P(B)

 이 성립함을 보일 수 있다. 그러므로 ⒜가 성립한다.

한편

 P(A∩(B∪C)) = P((A∩B)∪(A∩C))

           =  P(A∩B) + P(A∩C) -  P(A∩B∩C)

가 성립하므로, A, B, C가 서로 독립하면 식(3)으로부터

 P(A∩(B∪C)) =   P(A∩B) + P(A∩C)  

 P(A∩B∩C)=P(A)P(B)+ P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)

                =  P(A)P(B) + P(C) - P(B∩C)

                =  P(A)P(B∪C)

가 성립한다. 즉, ⒝가 성립한다. 마지막으로, A, B, C가 서로

독립이면 식 (3)으로부터

      P(A∩(B∩C)) =  P(A∩B∩C)

    = P(A)P(A)P(C) = P(A)P(B∩C) 

 임을 알 수 있게 되어, ⒞가 성립한다.    ? 

 

정리 B1 로부터, 세 사건 A, B, C가 서로 독립이면 이들 중에서

임의의 두 사건으로 표현될 수 있는 사건은 나머지 한 사건과

서로 독립임을 알 수 있다.

일반적으로, n개의 사건 A1, A2, ... ,An이 있는 경우에는 임의의   에 대하여

               

가 성립하면 사건이 서로 독립(mutually independent)이라

한다. 즉 임의의  1 ≤ I < j < k < ... ≤ n 에 대하여

   P(AI∩Aj) = P(AI)P(Aj)

   P(AI∩Aj∩Ak) = P(AI)P(Aj)P(Ak)

    ……………

   P(AI∩Aj∩ ... ∩An) = P(AI)P(Aj)P...(An)

이 성립할 때, 사건이 서로 독립이라 한다. 이와 같이 n개의

사건의 독립성을 정의하면 정리 B와 같은 방법으로 다음이

성립함을 보일 수 있다.

 

 

정리 C.

 

 

 

 

 

  다양한 세기의 방법과  기초적인 확률이론을 활용하여

보다 발전된 확률개념인 조건부확률과  기대값에 관하여

학습하였다.