Effect of the Implicit Combinatorial Model on Combinatorial

Reasoning in Secondary School Pupils

Carmen Batanero, Virginia Navarro-Pelayo and Juan D. Godino

Abstract

조합 문제는 다음 세 가지 모델로 분류된다. Selection(선택), Partition(분할), Distribution(분배)

이 논문의 주요한 목표는 학생들에게 교수지도 전과 후에 나타나는 Implicit Combinatorial Model(ICM 잠재적 조합 모델)이 조합추론에 효과가 있는지를 알아보기 위한 것이다. 질문지를 만들 때, 과제변수로 elements의 종류와 조합 연산 등을 고려하고 있으며, 14~15세의 학생 720명을 대상으로 학생들의 다양한 답에서 Implicit Combinatorial Model(ICM)의 효과를 분석하고 있다. 질적 분석에서는 과제변수 사이의 오류유형이 의존성을 가지고 있음을 보여주고 있다. 결론적으로 말하면 순열조합의 지도안을 만들 때에는 잠재적 조합 모델(ICM)이 교수학적 변수로 간주되어야만 한다는 것이다.

1. Introduction

⑴ 조합론은 이산수학에 필수적인 부분이며 학교수학에서 중요한 역할을 한다. 1970년 Kapur의 연구에서는 학교에서 기본적인 조합론을 가르치는 것의 정당함을 다음과 같은 이유를 들어서 설명하였다.

① 계산법에 의존하지 않기 때문에, 각 학년마다 적절한 문제가 있을 수 있다.

② 학생들은 조합론을 통해 계산에서 추측하기, 일반화하기, 체계적인 생각하기를 훈련할 수 있다. 또 동치개념, 순서관계, 함수, 샘플 등등의 개념을 발달시키는데 도움이 될 수 있다.

③ 다른 많은 분야에 적용이 될 수 있다.

⑵ 확률에 대해 말하자면, 1951년 Piaget와 Inhelder는 연구에서 학생들이 조합 능력을 소유하고 있지 못하면, 기초적인 무작위 실험을 제외하고는 확률의 아이디어를 쓸 수 없다고 한다. 또 이 논문에서는 순열(permutation)의 아이디어를 이해하는 것은 기회 개념의 발생과 관련이 있고, 조합(combination)의 개념 발달은 올바른 확률의 측정과 관련이 있다는 것을 알려준다.

⑶ 간단한 조합 문제에서 얻어진 학생들의 해답에서 Implicit Combinatorial Model의 효과를 분석한다. 비록 지금까지의 연구에서 평가되지 않았지만, 이런 변수의 영향 가능성이 Dubois에 의해 1984년에 제안되었다. 옳은 답의 퍼센트와 틀린 답에서 오류의 특별한 유형을 생각해 보고, 교수지도 전과 후의 학생들의 대답을 대조한다. Fischbein과 Gazit에 의한 1988년 연구에서는 변수(조합 연산, elements의 종류, teaching의 유형)에 따른 ICM의 상호작용뿐 아니라, 어려운 문제에서 ICM 변수의 효과를 보여 준다. 부가적인 문제로 학생들이 조합 문제를 풀 때 하게 되는 오류에 대해 체계적으로 기술하고자 한다.

1.0.1 Piaget와 Fischbein의 연구

⑴ Piaget : 조합론은 15세 이후에 배워야 한다.

확률의 아이디어를 발달시키는 중요성 외에도, 조합 능력은 형식적 사고의 기본 요소이다. 이런 능력은 Piaget 이론에서 기술된 단계들과도 관계가 있다. I 단계에 있는 학생들은 절차를 Listing하는데 체계적인 전략을 사용하지 않고 무작위적으로 사용한다. II 단계에 있는 학생은 trial and error에서 경험적인 절차를 발견하게 된다. 순열의 경우, 형식적 조작기 이후에 청소년들은 조합 구성의 체계적인 절차를 발견하므로 15세가 될 때까지 기다릴 필요가 있다고 말한다. Piaget와 Inhelder에 따르면,  연속배열과 대응에서 조합은 조정과 관계가 있고, 움직이고 거꾸로 할 수 있는 체계에 따르면 순열은 배열을 의미한다. - 이는 연산의 조작, 형식적 사고 단계의 특징이다.

⑵ Fischbein : 15세 이전이라도 교수효과를 볼 수 있다.

보다 최근인 1975년 Fischbein의 연구에 따르면, 조합문제 해결능력은, 교수지도를 받지 않고 형식적 조작단계에 항상 도달하는 것은 아니라고 한다. 다른 한편으로 Fischbein, Pampu, Minzat의 1970년의 연구와 Fischbein과 Gazit의 1988년의 연구를 보면, 조합 능력은 지도받아야만 효과를 볼 수 있음을 연구했고, Tree diagram으로 조합 아이디어를 10세 된 학생도 배울 수 있음을 알아냈다. 1988년에 Fischbein과 Gazit의 연구에서는, 먼저 조합 문제의 상대적 어려움을 분석하고 그 다음에 하나의 연산을 가진 조합 문제를 풀 때 발생하는 전형적인 오류를 분석했다.

⑶ Piaget의 연구결과, 교수지도 전에는 조합 연산이 다음의 순서로 어려워함을 알아내었다.

- 순열, 복원 배열, 비복원 배열, 조합

그러나 학생들이 Tree Diagram의 사용을 배우고 나서는 위의 어려워하는 순서가 바뀌었다.

- 조합문제에서는 맞는 답이 적고, 반대로 가르치기 전에 가장 어려워했던 순열을 가장 쉬워했다.

⑷ Fischbein과 Gazit는 순열문제에서 formula와 tree diagram으로 인해 조합문제가 보다 더 단순해진다고 한다. 그러나 조합문제에서 formula를 가르치는 것은 문제풀이에서 직관적 경험 전략을 혼란스럽게 한다고 지적했다. Elements에 대해 말하자면, Fischbein과 Gazit는 학생들이 사람이나 색깔이 있는 물체를 가지고 하는 것보다는 숫자를 사용할 때, 높은 비율의 정답을 얻는다는 것을 알아냈다. 왜냐하면 학생들은 심리적으로 숫자를 조작하는 것이 다른 것을 조작하는 것보다 더 익숙하기 때문이다.

2. Implicit Combinatorial Model in Combinatorial Problems with One Operation

❊ Dubois(1984년)에 따르면, 기본 조합 배열은 세 가지 모델로 분류할 수 있다.

① 샘플링의 개념을 강조하는 선택(selection)

② 맵핑의 개념을 강조한 분배(distribution)

③ 한 집합을 부분 집합으로 나누는 분할(Partition)

⑴ 선택(selection)모델은 11번 문제와 같이, m개의 물체에서 n개를 뽑는 것을 말한다.

Table I
AR	m개 중 한번에 n개를 뽑았을 때 복원 배열	CR	m개 중 한번에 n개를 뽑았을 때 복원 조합
A	m개 중 한번에 n개를 뽑았을 때 비복원 배열	C	m개 중 한번에 n개를 뽑았을 때 비복원 조합

만약 사람대신 구슬로 한다면 8번과 13번은 비슷한 방법으로 해석될 수 있다. 샘플을 고를 때, 11번과 같이 샘플을 복원하거나, 나머지는 5번과 같이 복원이 불가능한 경우이다. 이 확률에 따르면 샘플이 순서가 관계를 가지고 있든 없든 다음의 Table I의 4가지 기본적인 조합 조작을 포함한다. 순열은 배열의 특별한 경우이다.

⑵ 분배(distribution)모델의 경우에는 n개의 원소를 가진 한 집합을 m개의 cell로 만드는 것이다. 3번 문제와 같이 똑같은 내용의 카드 3장을 4개의 다른 봉투중 하나에 넣는 것이다. 이 문제의 해는 이지만, 다음의 특징 때문에 이 모델에는 다른 확률이 많이 존재한다.

· 대상이 똑같은지 다른지

· 담는 그릇이 같은지 다른지

· 대상을 담을 그릇에 순서가 있는지

그래서 이를 바탕으로 Dubois는 분배문제를 6가지 기본적인 유형으로 구별했다.

1. 순서 분배 - 다른 그릇에 다른 대상

2. 순서 분배 - 같은 그릇에 다른 대상

3. 비순서 분배 - 다른 그릇에 다른 대상

4. 비순서 분배 - 같은 그릇에 다른 대상

5. 분배 - 다른 그릇에 같은 대상 (대상이 같으므로 순서는 상관이 없다)

6. 분배 - 다른 그릇에 같은 대상 (대상이 같으므로 순서는 상관이 없다)

덧붙여서 다른 조건들 - 각 셀에서 고를 수 있는 최대한의 수를 가지거나 아무것도 없는 셀을 가질 확률 - 은 문제의 답을 찾을 때 기본이 된다. 각각의 유형의 분배문제에 다른 조합 연산이 있는 것이 아니고, 두개의 다른 분배문제에 같은 연산을 적용할 수도 있다. 예를 들어, n개의 물체를 m개의 셀로 분배 가능한 수를 배열로 정의할 수 있다. 배열에는 순서가 있든 없든 상관이 없으므로, 구별이 안 되는 물체인 경우에는 배열을 포함하고 있다고 보아야 한다. 그러나 기본적인 조합 연산에 의해서 표현되지 않는 분배문제도 생각해야만 하지만, 결론적으로 각각의 분배문제에 맞게 샘플링 하는 것은 불가능하다.

n개의 물체를 m개의 셀에 할당하는 것은 수학적 측면에서 n개의 집합을 m개의 셀로 맵핑하는 것과 같은 것이다. 배열문제는 단사함수이고, 순열문제는 전단사함수이다. 그럼에도 불구하고 조합문제에 대해 직접적으로 맵핑을 정의하지는 않는다. 게다가 단사함수가 아니라면, 기본적인 조합 연산으로는 답을 얻을 수 없는 문제가 발생한다.

⑶ 마지막으로 문제 10번과 같은 문제는 어떤 집합을 분할(partition)하는 것이다. 즉, n개의 집합을 m개의 부분집합으로 나누는데 관심이 있다. n개의 물체를 m개의 셀로 분배하는 것과 n개의 원소를 가진 집합을 m개의 부분집합으로 나누는 것은 같은 것으로 보일 수 있다. 그러므로 학생들에게는 비록 증거가 없게 보일지 모르지만, Dubois에 따르면 분할과 분배의 문제 사이에는 전단사함수가 존재한다.

그러므로 비록 같은 조합 연산에 대응된다고 할지라도, 여기에 기술된 3가지 문제유형이 똑같이 어렵다고 보이지는 않는다. 지금까지 유형을 분류하여 이를 바탕으로 한 실험적 형태는 없다는 것이 Dubois의 가정이다. 그리고 스페인 교과서를 분석해 보면, 조합연산은 보통, 샘플링의 아이디어를 사용하여 정의했다는 것을 알 수 있다. 이런 교과서의 연습문제는 대부분 선택문제나 분배문제만 다루고 있고, 한 집합을 부분집합으로 나누는 분할 모델은 대부분 다루어지지 않고 있다. 이런 이유 때문에 학생들의 조합 능력을 평가하는데, 문제에서 기본적인 과제 변수로서 잠재적 모델을 다룰 수 있는 것이다.

3. Description of the Questionnaire and Summary of the Data

⑴ 1981년 Green과, 1988년 Fischbein과 Gazit에 의해서 개발된 소스에서 얻어진 몇 가지 문제를 스페인어로 번역하여 처음으로 질문지를 만들었다. 샘플문제 생성과 문제를 균질하게 만드는데 손질이 필요하므로 문제를 이해하는데 선생님들과 학생들의 제안이 받아들여졌다. 문제에서 파라메타의 값을 알아보고 문제를 온전히 하는데 108명과 56명의 2개의 샘플집단으로 학생을 나누어 측정에 사용했다.

⑵ 문제를 선택할 때 다음과 같은 과제변수가 고려되었다.

⒜ 잠재적 조합 모델 : 선택, 분배, 분할 모델

⒝ 조합 연산의 유형 : 순열 조합 배열

⒞ 원소의 본질은 결합될 수 있다 : 문자, 숫자, 사람, 물체

⒟ 파라메타 m과 n에 의한 값

Table II Combinatorial Operation	Mathematical model (Item no.)
	Distribution	Selection	Partition
Combinations	Objects : C (3)	People : C (8)	Numbers : C (10)
Permutations with Repetition	Letters : PR (12)	Objects : PR (2)	People : PR (7)
Arrangement with Repetition	People : AR (6)	Numbers : AR (11)	Objects : AR (4)
Permutations	People : P (1)	Numbers : P (5)	-
Arrangements	Objects : A (9)	People : A (13)

⑶ Table II에는, 질문지에서 성취 가능한 문제유형을 다른 과제변수와 균형을 이룰 수 있도록 디자인 하였다. 질문지에서 문제 순서는 다른 모델과 연산이 교차되도록 배치되었다. 순서의 효과를 줄여보려고 질문지는 2개가 사용되었다. 질문지 A는 Appendix에 나와 있는 순서대로 되어 있고 질문지 B는 A의 순서를 거꾸로 되어있다. 두 가지 타입의 질문지는 무작위로 각 반 학생들에게 반씩 배포되었다.

⑷ 마지막 샘플은 14~15세 된 학생들 720명(9개의 학교의 24개 그룹)에게서 얻어진 것이다. 학생 중 352명은 조합론을 배우고, 나머지 348명은 배우지 않았다. 조합론을 배운 학생들은 (1981년 Hadar와 Hadass에 따르면) 조합 문제를 푸는데 어려움이 되는 조합 연산을 할 수 있다. 만약 배우지 않았다면 기본적인 세 가지 연산규칙(A, C, P)을 적용하여 해를 구하지 못할 것이다. 보통, 문제를 푸는 것은 재귀적인 추론을 필요로 하기 때문이다.

Table III	Operation	Model	Percent correct (Group with instruction)	Percent correct (Group with no instruction)
Item
1	P	Distribution	71.0	23.9
2	PR	selection	27.5	16.3
3	C	Distribution	26.7	26.9
4	AR	Partition	6.0	3.0
5	P	selection	80.7	77.2
6	AR	Distribution	7.4	13.0
7	PR	Partition	39.2	32.3
8	C	selection	46.0	22.5
9	A	Distribution	41.8	3.8
10	C	Partition	37.2	31.0
11	AR	selection	59.1	12.5
12	PR	Distribution	29.5	10.6
13	A	selection	59.6	9.5

⑸ 질문지의 완성은 정규 수학 시간에 하였다. 질문지를 완성하는데 1시간에서 1시간 반이 주어졌다. Table III에서는 두 그룹의 학생들에게서 얻어진 올바른 해의 퍼센트를 표현하고 있다. 표를 보면 두 그룹의 학생들이 문제가 하나의 연산과 관계가 있다고 하더라도 바른 해를 구하는데 큰 어려움을 가지고 있음을 보여준다. 학생들은 가능한 것을 모두 적거나, 아니면 적지 않고 계산하거나 간에, 문제에서 필요로 하는 재귀적인 추론이 부족함을 보여준다.

⑹ 교수지도 전에는 5번 문제를 제외하고는 세 유형의 모델간의 어려움에는 별 차이가 없다.(학생들은 체계적인 Listing화 하지 않고도 trial and error에 의해서 해를 찾는다.) 그러나 교수지도 후에는 문제풀이에서 얼마간의 향상을 보임을 알 수 있다. 선택문제, 배열문제, 순열문제, 복원순열문제에서는 어려움이 약간씩 줄어들었고 분배문제에서는 향상이 별로 보이지 않았고 분할문제에서는 전혀 향상되지 않았다. 이는 스페인 교과과정에서 조합연산을 소개하는 정의에 의해 설명될 수 있다. 이런 정의는 교과서에서 주로 분배문제는 배열과 순열에 덧붙여, 선택문제(샘플링)의 아이디어에 기반을 두고 있다. 그러므로 앞으로 조합론의 교과과정의 발달에서 이런 세 가지 유형을 고려할 필요가 있음을 강조한다.

4. Effect of Task Variables on Item Difficulty

⑴ 문제의 난이도에서 과제 변수의 통계적 중요성을 검증하기 위해서, BMDP 통계 패키지로 다중요인을 분산분석 하였다. 맞는 답은 1점, 틀린 답은 0점으로 하여 종속변수를 얻었다. Within-subject factor(독립변수)는 다음 세 요인을 고려하였다. 조합 모델은 3가지로 조합 연산을 5가지로 원소의 유형은 3가지로 구분하였다. Between-subjects factor(독립변수)는 다음의 세 가지로 구분하였다. 성별은 2가지로, 학생은 2그룹으로 질문지는 2가지 유형으로 구분하였다. 질문지가 완벽한 요인분석 모델은 아니지만, 그들 사이에 First order 상호작용과 다른 요인의 주요 효과를 연구하도록 디자인하였다.

Table IV	Level	Mean Percent	Standard Error	Sample size
Factor
Sex	Female	0.3090	0.0068	352
	Male	0.3092	0.0067	368
Test Version	Test A	0.3122	0.0068	362
	Test B	0.3060	0.0068	358
Instruction	Without	0.2153	0.0060	352
	With	0.4075	0.0073	368
Combinatorial Model	Distribution	0.2510	0.0072	3500
	selection	0.4073	0.0082	3500
	Partition	0.2422	0.0091	2100
Combinatorial Operation	C	0.3157	0.0100	2100
	PR	0.2576	0.0094	2100
	AR	0.1599	0.0790	1400
	P	0.6283	0.0128	1400
	A	0.2810	0.0119	2100
Type of element	Objects	0.1643	0.0071	2800
	People	0.2171	0.0085	2100
	Letter/Number	0.3687	0.0093	2800

⑵ Table IV는 각 요인의 성공률 퍼센트와 Standard error와 Sample size를 나타낸다. 요인 분석에서 질문지 타입이나 성별에 따른 차이는 별로 없음을 알 수 있다. 반대로 F값은 통계적으로 매우 중요하다. 왜냐하면 교수지도 전후에 나타나는 차(F값)는 문제풀이에서 학생들의 조합 능력이 증가했음을 효율적으로 증명하기 때문이다. 세 가지 Within-subject factor는 분산분석에서 중요한 역할을 한다. 조합 모델에서는 F=197.97  p<0.001, 조합 연산에서는 F=314.44  p<0.001, 원소 유형에서는 F=304.90  p<0.001을 나타낸다.

결론적으로 Fischbein과 Gazit가 분석한 ICM효과와 조합 연산, 원소 유형의 효과를 더해야만 한다는 것이다.

⑶ 조합 모델의 효과를 학생들의 해에서 깊이 있게 분석하기 위하여, 17명의 학생과 그들의 해에 대하여 분석적 인터뷰를 하였다. 그들은 분할문제나 체계적인 Listing 절차에서 전형적 오류를 보여주고 있었는데 인터뷰 결과, 많은 학생들이 3번과 8번은 같은 조합 연산(C)을 써야 함에도 불구하고 다른 모델로 생각한다는 것을 알게 되었다.

학생들의 전략은 조합 모델에 영향을 받으며, 교수지도 후에도 대부분의 학생들은 공식 대신 선택문제를 적용하거나 분배문제나 분할문제에서 Listing을 사용하는 것이다. 그들은 조합 연산의 정의를 이런 타입의 문제로 바꿀 수 없거나, 분할문제를 동일한 선택문제로 바꾸지 못하였다. 예를 들어 6번 문제에서 한 학생은 해를 다음과 같이 표현하였다.

Reasoning       Number of Combinations

4,0                        1

3,1                        4

2,2                        6

1,3                        4

0,4                        1

Total                     16 possible combinations

이 학생이 맞는 답을 하기는 했지만, 그는 조합의 수 4를 m과 n의 두 가수로 순서를 분해함으로써 답을 얻었다. 4명의 조합을 수 m을 가지고 계산하고, 마지막으로 구한 수를 모두 더하여 해를 얻었다. 그러므로 이 학생은 이 문제를 선택문제로 변형하지 못했기 때문에, 문제에 연산(AR)을 적용하지 않았고, 덧셈법칙을 써서 1+4+6+4+1=16의 해를 얻었다.

⑷ 난이도의 상대적 순서에 관하여, 교수지도 전에는 Fischbein과 Gazit의 실험에서 얻어진 조합 연산의 중요 순서대로 일어나지는 않는다. 우리의 연구결과와 Fischbein과 Gazit의 연구결과는 차이가 있다. 그들은 분석에서 통제할 수 없었기에 연구에서 분할문제를 포함하지 않았다. 그러나 우리는 실험결과에서 ICM과 연산 사이에 상호작용의 중요한 효과를 얻었다는 것이다. 그 효과란 다른 조합 모델들에서 다른 조합 연산의 상대적 어려움의 순서는 같을 수 없다는 것이다. 그럼에도 불구하고, 우리의 질문지에서는 조합 연산과 모델의 가능한 모든 조합을 포함하지는 않기 때문에, 앞으로 더 많은 연구가 필요하다는 것이다.

⑸ Elements의 타입에 관한 결과는 Fischbein과 Gazit의 1988년 연구와 유사성을 보여주고 있다. 마지막으로 교수와 조합 모델사이의 상호작용(F=49  p<0.01)과, 교수와 연산사이의 상호작용(F=48.65  p<0.01)은 강조되어야 할 부분이다. 조합 연산과 조합 모델이 전부 다르므로 교수로 인한 효과는 완전히 동질적이지는 않다. 나머지 요인들은 교수와 상호작용이 없다. 이 부분은 1993년 Gras와 Larher에 의한 분석과 Batanero의 1995년 논문에서 잘 나타나 있다.

5. Description of the Main Error Types

앞에서는 교수 전후에 여러 문제에서의 성공률을 분석하였다. 그러나 조합문제를 푸는 것은 단순한 과정이 아니며 교사와 학생 모두에 일어날 수 있는 오답에도 차이가 있을 수 있다. 학생이 일단 질문지를 완성시키면 그들의 오류를 다음 카테고리에 따라 분류하였다. 다음 단락에서 설명 분석하겠다.

Table V	Instruction group		No Instruction group		Item in which this error had special incidence
Errors	Number of errors	Mean per pupil	Number of errors	Mean per pupil
1: Statement	145	0.41	36	0.10	4,6,10
2: Oder	787	2.24	153	0.44	3,6,7,8,9,10,12
3: Repetition	563	1.60	145	0.42	2,4,6,12
4: Objects	26	0.07	241	0.69	2,3,4
5: Exclusion	20	0.06	3	0.01	2,12
6: Listing	50	0.14	1678	4.82	All of them except 4,5
7: IntAnswer	29	0.08	220	0.63	1,9,13
8: Operations	24	0.06	19	0.05	No Difference
9: Formula	156	0.44	-	-	No Difference
10: Parameters	458	1.30	30	0.08	4,6
11: Tree Diag	36	0.09	-	-	3,4,6
12: Property	103	0.29	213	0.08	6,710
13: Cells	42	0.10	280	0.80	4,6,7,10
14: Partition	36	0.10	272	0.78	4,6
More than 2 errors	226	0.64	388	1.05	No Difference
No solution	549	1.60	648	1.86	No Difference

5.1 Common errors in the different models of selection, distribution and partition

1. (Statement) 문제 진술을 잘못 해석 : 이 부분에는 세 가지 유형의 실수가 있다.

⒜ 문제에 맞는 수학적 모델을 잘못된 모델로 바꾼다.

⒝ 어떤 학생들은 단순한 문제를 복잡한 문제로 바꾸기도 한다.

예를 들어, 7번 문제에서 어떤 학생들은 가능한 가짓수를 올바르게 구했는데도 결국 2배를 하여 틀렸다. 두 프로젝트가 다르다고 생각했기 때문이다.

⒞ ‘distribute’, ‘divide’, ‘share’ 의 단어들이 혼동되어, 자료를 둘로 나누도록 요구되는 분할문제로 적용되었다.

예를 들어 4번 같은 문제(4개의 차를 3명에게 나누는 분배)에서는 한 학생에 1개씩 주고 하나를 남기는 오류를 범했다.

2. (Order) 순서 오류 : 이 실수는 조합과 배열의 혼동 때문에 일어난다. 상관없는데도 순서를 구분하거나 반대로 순서가 반드시 필요한데도 생각하지 않는 것이다.

8번(5명중 칠판을 지우는 지원자 3명을 뽑기) 문제의 오류

(Ⓔlisabeth, Ⓕerdinand, Ⓖeorge, Ⓛucy, Ⓜary)

EFG, EFL, EFM, EGF, EGL, EGM, ELM, ELF, ELG, EMF, EMG, EML,......  12✕5=60; 60가지방법이 있다.

3. (Repetition) 복원 문제 : 복원을 생각하지 않아서 일어난다. 학생들은 원소를 복원의 가능성을 전혀 생각하지 않거나, 복원을 생각할 필요가 없을 때 생각하는 경우가 생겼다.

5번(복원을 하지 않고 3개의 수를 선택하는 문제) 문제의 오류

724-742-722-772-744-472-427-477-444-422-274-247-277-222-244 ; 15가지 방법이 있다.

4. (Objects) 대상의 유형을 혼동 : 구별의 문제에서 일어난다. 같은 대상이라도 구분해야하는 것이 있고 다른 대상이라도 구분할 필요가 없는데도 구분하는 경우가 있다.

2번(색칠한 구슬을 복원하는 경우) 문제의 오류

White-Ⓦ,   Blue-Ⓑ,   Red-Ⓡ,   Blue2-Ⓩ

WBRZ-WBZR-WRBZ-WRZB-WZBR-WZRB-......  6✕4=24; 24가지 방법이 있다.

5. (Exclusion) 구조형성에서 어떤 원소를 제외 : 복원이 있는 순열 문제에서 전형적으로 생겨나는 오류이다. 어떤 학생들은 순열에서 반복되는 원소사이에 일어난다.

2번 문제에서 파랑이 2개이고 흰색과 빨강이 각각 1개있다.

파랑이 반복되는 경우 3!=3×2=6; 6가지가 있다고 한다.

6. (Listing) 비조직적인 Listing : 이런 오류의 유형은 Fischbein과 Gazit에 의해서도 이미 서술되었다. 모든 형식화 가능성을 이끄는 회귀적인 절차 없이 trial and error의 방법으로 Listing 함으로써 문제를 풀려고 하기 때문에 일어난다.

7. (Intanswer) 직관적 대답을 오해 : 답을 검토하지 않고 학생들은 단지 잘못된 수치적 해를 낸다.

8. (Operations) 부정확한 산술 연산 : 어떤 학생들은 확률의 Listing이나 알려진 공식 대신에, 곱, 합, 지수의 규칙을 조합에 사용한다.

때때로, 1번 문제에서 학생들은 첫 번째 학생을 고정하고 trial and error로 순열의 수를 맞게 구한다. 그리고 4를 곱하는 대신에 4명의 순열에 4를 더하여 답을 얻어서 틀리게 된다.

9. (Formula) 조합 연산에 맞는 공식이 기억나지 않음

예를 들어, 3번 문제의 해로 C=4☓3=12를 얻는다.

10. (Parameters) 조합 공식에서 파라메타의 값의 의미가 기억나지 않음

4번 문제의 답과 같이, 같은 사람이 4개의 자동차를 가질 수 있으므로 복원이 있는 경우의 배열이라서 AR=4=64 가지의 방법으로 차를 나누어줄 수 있다.

11. (Tree Diagram) tree diagram 의 불완전한 이해 : 해를 구하는 도구로서의 중요성에도 불구하고 어떤 학생들은 편리한 공식을 배우고난 후에서 tree diagram을 사용한다. 게다가 문제를 풀기위해 tree diagram을 사용하는 학생들도 잘못된 diagram을 사용하거나 diagram을 잘 그리고도 잘못 해석한다는 것이다.

12. (Property) 필요할 때 조합 수의 성질적용에 실패 : m개의 원소를 가지고 있는 집합을 n개의 원소가 있는 부분집합으로 만들어야하는 bipartition에서 m-n개의 부분 여집합을 가지고 있다. 그러므로 공식은 C=C 이 된다.

7번 문제에서 이런 성질을 적용하는데 실패하면, 다음과 같아진다.

C===6

이 방법대로 한다면 36가지 방법이 있을 수 있지만 순서는 문제와 관계가 없다.

5.2 Additional specific errors in distribution and partition problems

13. (Cells) Cell의 유형을 혼동 : 말하자면 동일한 cell로 나누는 것을 알 수 있거나 구별할 수 있는 cell인데도 구별하는 것이 불가능하다고 믿는다. 예를 들어 7번 문제에서 학생들은 구별하지 못한다.

14. (Partition) 분할에서 얻어진 오류 : 다음 두 가지로 얻어질 수 있다.

⒜ 분할에서 모든 부분집합의 합집합에서 원소를 모두 포함하고 있지 않은 경우의 오류

예를 들어 4번 문제에서  black, orange, white, grey  : Peggy

black, orange, white, grey  : John

black, orange, white, grey  : Linda

black : Peggy

black : Linda ......

⒝ 분할에서 가능한 유형을 잊어버린 오류

예를 들어 6번 문제에서는 4명의 학생을 2개의 그룹으로 나누어야만 한다. 문제를 풀기위해서 4를 고려할 필요가 있다. 4=4+0=3+1=2+2=1+3=0+4  그럼에도 불구하고 다음의 예에서 학생들은 모든 가능한 분할을 고려한다. 10가지.

A, B, C, D = 1층                      A, B, C, D = 2층

A, B, C = 1층      D = 2층           A, B, D = 1층      C = 2층

A, D, C = 1층      B = 2층           B, C, D = 1층      A = 2층

A, B, C = 2층      D = 1층           A, B, D = 2층      C = 1층

A, D, C = 2층      B = 1층           B, C, D = 2층      A = 1층

⑴ Table V에서 질문지의 이런 오류의 유형에서 학생당 빈도수와 평균을 분석하였다. 교수지도 전의 어려움은 체계적인 Listing 능력의 부족이었다. Elements 유형에서, 분할 유형에서, 잘못된 직관적 답에서 오류를 볼 수 있다. 지도받은 학생들 사이에 나타나는 두 가지 주요한 오류는 순서와 복원에 관한 것과 학생들의 답에서 나타나는 Tree diagram의 잘못된 이해와 공식에 대한 새로운 오류가 나타났다.

⑵ 두 그룹에서 해가 없는 문제수의 평균은 별로 큰 차이가 없었다. 그럼에도 불구하고 전체적 오류평균은 교수지도 전에 10.59였고 교수지도 후에 7.01이다. 교수지도 후에 나타나는 새로운 유형의 오류 때문에 많은 학생들이 조합 연산의 의미를 명백히 알 수는 없을지라도, 이 결과는 교수의 긍정적 효과를 보여준다.

⑶ 오류의 구조를 연구하기 위해서, 답의 유형에 따라 문제의 교차적 배열의 대응 분석은 BMDP 통계 package를 사용하였으며 결과는 Batareno의 1995년 논문에 자세하게 나와 있다. (카이 스퀘어 값은(χ=7968; p=0.000) 매우 중요하다.) 분석결과 다차원 구조를 보여주는 다음의 4가지 요인이 있다.

⒜ First factor : 문제에서 나타난 진술 단어의 복잡성 (전체 inertia 44.1%)

이 요인은 (학생들이 절차적 오류와 조합 구조의 기본적 성질 구별에 실패하는) 개념적 오류를 분리한다. 이 요인이 보여주는 어려움 지수에 따라 정렬된 문제는 개념적 오류 유형과 관련이 있음을 보여준다. 체계적인 Listing 능력의 부족과 다른 절차적 오류는 어려움에 큰 영향이 없다는 것이다.

⒝ Second factor : 조합 모델 (전체 inertia 21.7%)

이 요인에서 분할 문제는 다른 두 모델(선택문제, 분배문제)과 반대이며, 분할문제와 관련된 특별한 오류가 있음을 보여준다. 그리고 이런 오류에 주의를 기울여야만 한다.

⒞ Third factor : 순열문제의 특이성 (전체 inertia 11.3%)

이 요인에서는 특별한 순열문제를 주목해야 한다. 복원이 있는 순열문제에서는 매우 다양한 오류가 증가함을 볼 수 있다.

⒟ Fourth factor : 복원이 있는 순열과 조합 사이의 유사성과 구별 (전체 inertia 10.2%)

이 요인은 두 조합연산 사이에서 생기는 또, 각각에 관련된 오류 사이에서 생기는 Duality와 Discrimination을 반영한다.

이 요인들 외에 다른 추가적 교수변수는 아무런 영향이 없음을 알 수 있다. 그래서 문제의 난이도를 높인다고 할지라도, 다른 추가적 변수를 가르치는 것은, 문제유형과 관련되어 있는 특별한 오류유형들 사이에 있을 수 있는 차이에는 영향을 주지 않는다.

6. Some Practical and Theoretical Implication

⑴ 이 논문에서는 몇몇 과제 변수를(특히 ICM) 교수학적 변수로 나타내고 있다. 이 변수는 에러타입과 문제의 난이도 모두에 강한 영향을 끼친다. 특히 조합연산의 정의를 선택문제로 만드는 학생들은 문제를 다른 조합모델로 변화시키지 못함을 지적하고 있다. 그러므로 알고리즘 측면과 조합연산의 정의보다는, 조합문제를 다른 모델로 변화시키거나, 재귀적 추론과 체계적인 Listing 절차를 강조하는 지도안이 고려되어야만 한다. 이런 접근이 10~18세 된 학생의 교과서에 적용된다면, 조합론의 발전 가능성은 충분히 있다고 주장한다.

⑵ 이번 연구의 이론적 결과는 학생들이 가지고 있는 조합론에 관한 지식을 과제 변수로 평가하는 것에 대해서도 언급하고 있다. 이런 과제 변수는 그 기원과 진화에 있어 보다 설득력 있고 이해할 수 있는 평가를 얻을 수 있도록 고려되어야만 한다.

⑶ 마지막으로 이번 연구로 인하여 교수학적 연구에 관한 일반적이고 이론적인 반향이 일어날 수 있다는 것이다. 조합의 개념을 이해하는 것은 그 정의를 단순히 재생산하는 것으로 축소될 수도 있고, 연습문제를 푸는 것으로 개념을 유도하도록 수행될 수도 있다. 그렇지만 문제는 독립적으로 나타나지 않는다 하더라도, 학생들은 문제를 그루핑 할 수 있고, 더 나아가 혼란스런 문제 상황에서 유사한 수학적 해를 적용하여 문제를 풀 수도 있다. 수학자들에게는 관련된 문제 상황에서 주어진 부류를 변형시키거나 확장시키는 것을 곧바로 할 수 있을 지도 모르지만, 학생들에게는 이것이 그리 쉬운 일은 아니다. 왜냐하면 개념을 이해하는 것은, 다양한 상황을 통해서 획득한 문제 해결 과정을 계속해서 증가해 나가는 것이기 때문이다.

Appendix

A: Arrangement(배열) C: Combination(조합) P: Partition(순열) R: Retetition(복원)                (Operation : Model)

1. 4명의 학생(Andrew, Burt, Charles, Dan)이 부정행위를 하다가 걸려서 교장 선생님께 불려갔다. 그들은 교장 선생님 방 밖에서 벌을 받기 위해 기다리고 있는 중인데 아무도 처음에 벌을 받기를 원하지 않고 있다. 그들이 벌을 받는 순서는 모두 몇 가지인가? (예: A B C D)

(P : Distribution)

2. 한 상자에 색이 칠해진 4개의 구슬이 들어있다. 2개는 파랑, 나머지는 흰색과 빨강이다. 카운터를 무작위로 뽑아서 그 색을 적는다. 뽑은 것은 다시 복원하지 않으며, 4개를 뽑을 때까지 계속한다. 4개를 뽑는 방법은 모두 몇 가지인가? (예:W B R B)

(PR : Selection)

3. 3개의 동일한 내용의 편지가 있다. 4개의 다른 색깔(노랑, 파랑, 빨강, 초록)의 봉투에 한 장씩 넣는다고 할 때 봉투에 넣는 방법은 얼마나 되는가? (예: Y B G)

(C :  Distribution)

4. 한 소년이 색깔이 칠해진 4개의 자동차(검정, 오렌지, 흰색, 회색)를 가지고 있는데, 친구들(Peggy, John, Linda)에게 나누어 주려고 마음먹었다. 나누어 줄 수 있는 방법은 모두 몇 가지인가? (Linda에게 4개를 모두 줄 수도 있다.)

(AR : Partition)

5. 한 항아리에 3개의 구슬이 있다. 각 구슬에는 2,4,7이라는 숫자가 적혀있다. 복원하여 세 번 구슬을 뽑았다. 뽑은 세 개의 숫자로 세 자리의 수를 만들 수 있는 방법은 모두 몇 가지인가? (예: 724)

(P : Selection)

6. 4명의 아이들(Alice, Bert, Carol, Diana)이 할머니 댁에서 밤을 보내려고 한다. 할머니 댁에는 방이 두개 있는데, 하나는 아래층에 하나는 위층에 있다. 할머니가 아이들을 재우는 방법은 몇 가지가 되는가? (한 방에 모두 재울 수도 있고, A, B, C는 아래층에 D는 위층에 재울 수도 있다.)

(AR : Distribution)

7. 4명의 친구들(Ann, Beatrice, Cathy, David)은 2개의 프로젝트를 완성해야 한다, 하나는 수학문제이고 다른 하나는 어학문제이다. 2명씩 나누어서 한 팀이 한 문제를 수행하기로 하였다. 모두 몇 가지 방법이 있는가? (A C는 수학문제 B D는 어학문제를 푼다.)

(PR : Partition)

8. 5명의 학생(Elisabeth, Ferdinand, George, Lucy, Mary)이 칠판을 지우는 일에 자원하였다. 5명의 학생 중 3명을 뽑는 방법은 모두 몇 가지인가? (예: E, M, G 선택)

(C : Selection)

9. Angel의 빌딩안 주차장에 번호가 매겨진 5개의 주차 공간(1,2,3,4,5)이 있다. 3명의 Augel, Beatrice, Carmen이 주차를 하려고 한다. 얼마나 많은 방법이 있겠는가? (A는 1번에, B는 2번에, C는 4번에 주차할 수 있다.)

(A : Distribution)

10. Mary와 Cindy는 4개의 우표를 가지고 있다. 우표를 2장씩 나누어 가지려고 한다. 얼마나 많은 방법이 있겠는가? (M은 1,2번 우표를 C는 3,4번 우표를 나누어 가진다.)

(C : Partition)

11. 상자에 2,4,7,9라고 써있는 구슬이 4개 있다. 복원하여 3번 구슬 뽑기를 반복하여 숫자를 얻었다. 얼마나 많은 세 자리 숫자를 얻을 수 있는가? (예: 222)

(AR : Selection)

12. 5개의 카드에 각각 A, B, C, C, C라고 써있다. 카드를 탁자에 모두 늘어놓는 방법은 몇 가지나 있는가?

(예: A C B C C)

(PR : Distribution)

13. 회장, 회계, 비서의 세 자리가 있는 위원회가 있고 4명의 지원자(Arthur, Ben, Charles, David)가 있다. 위원회를 구성할 수 있는 방법은 몇 가지나 되는가?

(A : Selection)